Nombres complexes (forme trigonométrique et exponentielle) en Terminale maths expertes

Nombres complexes (forme trigonométrique, exponentielle) en Maths expertes : cours complet

La forme trigonométrique et la forme exponentielle des nombres complexes mettent en évidence leur module et leur argument (angle). Elles simplifient énormément les multiplications, divisions et puissances.

Module et argument

Module

Pour $z=a+ib$z = a + ib :

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$|z| = √(a² + b²)

Argument

L'argument $\theta =\arg (z)$θ = arg(z) est l'angle orienté entre l'axe des réels et le vecteur $\overrightarrow{OM}$vecteur OM.

$$\cos (\theta )=\frac{a}{|z|};\sin (\theta )=\frac{b}{|z|}$$cos(θ) = a/|z| ; sin(θ) = b/|z|

Défini modulo $2\pi$2π, sauf pour $z=0$z = 0 (argument indéfini).

Forme trigonométrique

$$z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )(z\ne 0)$$z = |z|(cos θ + i sin θ) (z ≠ 0)

Forme exponentielle

$$z=|z|e^{i\theta }$$z = |z| e^(iθ)

Formules d'Euler

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$e^(iθ) = cos θ + i sin θ

$$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2};\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$$cos θ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2 ; sin θ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/2i

Propriétés

$$|e^{i\theta }|=1;\overline{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }$$|e^(iθ)| = 1 ; e^(iθ)̅ = e^(-iθ)

Conversions

Algébrique → trigonométrique

1. Calculer $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$|z| = √(a² + b²).
2. Trouver $\theta$θ tel que $\cos \theta =a/|z|$cos θ = a/|z| et $\sin \theta =b/|z|$sin θ = b/|z|.

Trigonométrique → algébrique

$$z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )=|z|\cos \theta +i|z|\sin \theta$$z = |z|(cos θ + i sin θ) = |z| cos θ + i |z| sin θ

Exemple

$z=1+i$z = 1 + i :

• $|z|=\sqrt{2}$|z| = √(2).
• $\cos \theta =\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$cos θ = sin θ = 1/√(2) → $\theta =\frac{\pi }{4}$θ = π/4.

$$z=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$$z = √(2) e^(iπ/4)

Multiplication et division

Multiplication

$$|z{z}^{\prime }|=|z|\times |z^{\prime }|;\arg (z{z}^{\prime })=\arg (z)+\arg (z^{\prime })$$|z z'| = |z| × |z'| ; arg(z z') = arg(z) + arg(z')

$$z{e}^{i\theta }\times z^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}=z{z}^{\prime }{e}^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}$$z e^(iθ) × z' e^(iθ') = z z' e^(i(θ + θ'))

Division

$$\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{|z^{\prime }|};\arg \left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)=\arg (z)-\arg (z^{\prime })$$|z/z'| = |z|/|z'| ; arg(z/z') = arg(z) - arg(z')

Puissances

Formule de Moivre

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$$(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

ou en notation exponentielle :

$$(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$$(e^(iθ))ⁿ = e^(inθ)

$$z^n=|z{|}^n{e}^{in\theta }$$zⁿ = |z|ⁿ e^(inθ)

Exemple

$z=1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$z = 1 + i = √(2) e^(iπ/4).

$$z^{10}=(\sqrt{2}{)}^{10}{e}^{10i\pi /4}=32e^{5i\pi /2}=32e^{i\pi /2}=32i$$z¹⁰ = (√(2))¹⁰ e^(10 i π / 4) = 32 e^(5iπ/2) = 32 e^(iπ/2) = 32 i

Racines $n$n-ièmes de l'unité

Les solutions de $z^n=1$zⁿ = 1 sont :

$$z_k=e^{2ik\pi /n}(k=0,1,\dots ,n-1)$$zₖ = e^(2 i k π / n) (k = 0, 1, …, n - 1)

Elles forment un polygone régulier à $n$n sommets sur le cercle unité.

Exemple : racines cubiques de l'unité

$$1,j=e^{2i\pi /3},j^2=e^{4i\pi /3}=e^{-2i\pi /3}$$1, j = e^(2iπ/3), j² = e^(4iπ/3) = e^(-2iπ/3)

Avec $1+j+j^2=0$1 + j + j² = 0.

Racines $n$n-ièmes d'un complexe

Pour $w=r{e}^{i\phi }$w = r e^(iφ), les solutions de $z^n=w$zⁿ = w sont :

$$z_k=r^{1/n}{e}^{i(\phi +2k\pi )/n}(k=0,\dots ,n-1)$$zₖ = r^(1/n) e^(i(φ + 2kπ)/n) (k = 0, …, n-1)

Application à la trigonométrie

Linéarisation

Pour transformer ${\cos }^n\theta$cosⁿ θ ou ${\sin }^n\theta$sinⁿ θ :

$${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos (2\theta )}{2}$$cos² θ = (1 + cos(2θ))/2

$${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos (2\theta )}{2}$$sin² θ = (1 - cos(2θ))/2

(Méthode : développer $(e^{i\theta }+e^{-i\theta }{)}^n$(e^(iθ) + e^(-iθ))ⁿ par le binôme.)

Formules d'addition (retrouver)

$$e^{i(a+b)}=e^{ia}{e}^{ib}=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)$$e^(i(a+b)) = e^(ia) e^(ib) = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b)

En séparant parties réelle et imaginaire, on retrouve $\cos (a+b)$cos(a+b) et $\sin (a+b)$sin(a+b).

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier $|z|$|z| dans la forme trigonométrique : $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$z = |z|(cos θ + i sin θ), pas $\cos \theta +i\sin \theta$cos θ + i sin θ.
• Mauvais argument : vérifier le signe de $\cos$cos et $\sin$sin pour déterminer le quadrant.
• Confondre $e^{i\theta }$e^(iθ) et $e^{\theta }$e^(θ) : ce sont des choses très différentes.
• Mauvais signe dans la formule de Moivre.

FAQ — Nombres complexes (trigonométrique)

Pourquoi utiliser la forme exponentielle ?

Elle simplifie les multiplications, divisions et puissances : elles deviennent des additions, soustractions et multiplications d'arguments.

Que représente l'argument géométriquement ?

L'angle entre l'axe des réels et le vecteur $\overrightarrow{OM}$vecteur OM, dans le sens trigonométrique.

À quoi sert Moivre ?

À calculer les puissances de complexes et à démontrer des formules trigonométriques.

Comment retrouver $\cos (2\theta )$cos(2θ) avec Moivre ?

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2=\cos (2\theta )+i\sin (2\theta )$(cos θ + i sin θ)² = cos(2θ) + i sin(2θ).

En développant : ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta +2i\cos \theta \sin \theta$cos² θ - sin² θ + 2 i cos θ sin θ.

Donc $\cos (2\theta )={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$cos(2θ) = cos² θ - sin² θ et $\sin (2\theta )=2\cos \theta \sin \theta$sin(2θ) = 2 cos θ sin θ.