Matrices : opérations et inverse en Terminale maths expertes

Matrices : opérations et inverse en Maths expertes : cours complet

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. Les matrices permettent de représenter et calculer des transformations linéaires, des systèmes d'équations, des graphes, et bien plus.

Définitions

Matrice $m\times n$m × n

Une matrice $A$A de taille $m\times n$m × n a $m$m lignes et $n$n colonnes :

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$A = a₁₁ & a₁₂ & … & a₁ₙ ; a₂₁ & a₂₂ & … & a₂ₙ ; vdots & & & vdots ; a_m1 & a_m2 & … & a_mn

Cas particuliers

• Carrée : $m=n$m = n.
• Ligne : $1\times n$1 × n.
• Colonne : $m\times 1$m × 1.
• Diagonale : $a_{ij}=0$aᵢⱼ = 0 pour $i\ne j$i ≠ j.
• Identité $I_n$Iₙ : matrice carrée avec $1$1 sur la diagonale, $0$0 ailleurs.

Opérations

Somme (matrices de même taille)

$$(A+B{)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$$(A + B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bᵢⱼ

Produit par un scalaire

$$(kA{)}_{ij}=k\times A_{ij}$$(k A)ᵢⱼ = k × Aᵢⱼ

Produit matriciel

Si $A$A est $m\times p$m × p et $B$B est $p\times n$p × n, le produit $AB$AB est $m\times n$m × n :

$$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^p{A}_{ik}\times B_{kj}$$(AB)ᵢⱼ = Σ_k=1^(p) Aᵢₖ × Bₖⱼ

Attention

• Le produit $AB$AB existe seulement si le nombre de colonnes de $A$A = nombre de lignes de $B$B.
• Non commutatif en général : $AB\ne BA$AB ≠ BA.

Exemple

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$A = 1 & 2 ; 3 & 4 , B = 5 & 6 ; 7 & 8

$$AB=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 5+2\cdot 7& 1\cdot 6+2\cdot 8\\ 3\cdot 5+4\cdot 7& 3\cdot 6+4\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$$AB = 1· 5 + 2· 7 & 1· 6 + 2· 8 ; 3· 5 + 4· 7 & 3· 6 + 4· 8 = 19 & 22 ; 43 & 50

Matrice identité

$$I_{n}A=A{I}_n=A$$Iₙ A = A Iₙ = A

C'est l'élément neutre du produit matriciel.

Puissances

$$A^n=A\times A\times \cdots \times A(n\text{ fois})$$Aⁿ = A × A × … × A (n fois )

avec convention $A^0=I_n$A⁰ = Iₙ.

Transposée

La transposée $A^T$A^(T) s'obtient en échangeant lignes et colonnes :

$$(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$$(A^(T))ᵢⱼ = Aⱼᵢ

Propriétés

$$(A+B{)}^T=A^T+B^T$$(A + B)^(T) = A^(T) + B^(T)

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$(AB)^(T) = B^(T) A^(T)

Matrice inverse

Définition

Une matrice carrée $A$A est inversible s'il existe $B$B tel que :

$$AB=BA=I_n$$AB = BA = Iₙ

On note $B=A^{-1}$B = A⁻¹.

Pour $2\times 2$2 × 2

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$A = a & b ; c & d

$$\det (A)=ad-bc$$det(A) = ad - bc

Si $\det (A)\ne 0$det(A) ≠ 0 :

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$A⁻¹ = 1/(ad - bc) d & -b ; -c & a

Exemple

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right),\det =4-3=1$$A = 2 & 1 ; 3 & 2 , det = 4 - 3 = 1

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$$A⁻¹ = 2 & -1 ; -3 & 2

Systèmes d'équations linéaires

Forme matricielle

$$AX=B$$AX = B

où $A$A est la matrice des coefficients, $X$X le vecteur des inconnues, $B$B le vecteur des seconds membres.

Si $A$A inversible

$$X=A^{-1}B$$X = A⁻¹ B

Exemple

$$\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ 3x+2y=8\end{array}⟺\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)$$2x + y = 5 ; 3x + 2y = 8 ⇔ 2 & 1 ; 3 & 2 x ; y = 5 ; 8

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$$X = A⁻¹ B = 2 & -1 ; -3 & 2 5 ; 8 = 2 ; 1

Donc $x=2$x = 2, $y=1$y = 1.

Erreurs fréquentes à éviter

• Multiplier matrices dont les dimensions ne sont pas compatibles.
• Croire que $AB=BA$AB = BA : faux en général.
• Mauvais calcul du déterminant ou de l'inverse.
• Confondre matrice nulle et matrice identité.

FAQ — Matrices : opérations et inverse

À quoi sert le déterminant ?

À savoir si la matrice est inversible ($\det \ne 0$det ≠ 0) et à calculer son inverse.

Pourquoi le produit matriciel est-il non commutatif ?

Parce qu'il compose des transformations : appliquer la transformation A puis B n'est pas la même chose que B puis A en général.

À quoi servent les matrices ?

À représenter des systèmes d'équations, des transformations (rotations, projections), des graphes, des modèles économiques, démographiques, physiques.

Comment résoudre un système ?

Soit avec la méthode des matrices ($X=A^{-1}B$X = A⁻¹ B), soit par les méthodes classiques (substitution, combinaison). La méthode matricielle est élégante pour les grands systèmes.