Questions de cours · 11 notions

Calcul littéral et équations : les questions de cours du brevet

Développer, factoriser, équation, identité, produit nul : le vocabulaire algébrique à maîtriser pour les questions de cours et les démonstrations.

1. Conventions d'écriture
Quelles sont les conventions d'écriture du calcul littéral ?
On peut supprimer le signe $\times$ × devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times a = 3 a$ 3× a=3a, $a \times b = ab$ a× b=ab, $4 \times (x + 1) = 4 (x + 1)$ 4×(x+1)=4(x+1). On écrit $a \times a = a^{2}$ a× a=a² et $a \times a \times a = a^{3}$ a× a× a=a³ ; $1 \times x = x$ 1× x=x.
Piège. $2 x$ 2x signifie $2 \times x$ 2× x : pour $x = 5$ x=5, $2 x = 10$ 2x=10, pas $25$ 25.
Revoir le cours : conventions d'écriture →
2. Développer et factoriser
Que signifie développer une expression ? la factoriser ?
Développer, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence). Factoriser, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. Réduire, c'est regrouper les termes de même nature pour écrire l'expression avec le moins de termes possible.
Exemple. Développer : $3 (x + 2) = 3 x + 6$ 3(x+2)=3x+6. Factoriser : $5 x + 5 = 5 (x + 1)$ 5x+5=5(x+1).
Revoir le cours : développer et factoriser →
3. Distributivité simple
Énoncer la propriété de distributivité simple.
Pour tous nombres $k$ k, $a$ a et $b$ b : $k (a + b) = k a + k b$ k(a+b)=ka+kb et $k (a - b) = k a - k b$ k(a-b)=ka-kb.
Exemple. $- 4 (2 a + 3) = - 8 a - 12$ -4(2a+3)=-8a-12.
Piège. Le facteur multiplie chaque terme, signe compris : $3 a - 1 - 4 (2 a + 3) = 3 a - 1 - 8 a - 12 = - 5 a - 13$ 3a-1-4(2a+3)=3a-1-8a-12=-5a-13.
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4. Double distributivité
Énoncer la propriété de double distributivité.
Pour tous nombres $a$ a, $b$ b, $c$ c et $d$ d : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Exemple. $(2 x + 3) (x - 4) = 2 x^{2} - 8 x + 3 x - 12 = 2 x^{2} - 5 x - 12$ (2x+3)(x-4)=2x²-8x+3x-12=2x²-5x-12.
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5. Identité remarquable a² − b²
Énoncer l'identité remarquable de la différence de deux carrés.
Pour tous nombres $a$ a et $b$ b : $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ a²-b²=(a-b)(a+b).
Exemple. $9 x^{2} - 25 = (3 x)^{2} - 5^{2} = (3 x - 5) (3 x + 5)$ 9x²-25=(3x)²-5²=(3x-5)(3x+5) ; $101 \times 99 = 10 0^{2} - 1^{2} = 9999$ 101×99=100²-1²=9 999.
Piège. $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ (a+b)²≠ a²+b² : par la double distributivité, $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)²=a²+2ab+b².
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6. Équation, inconnue, solution
Qu'est-ce qu'une équation ? une solution d'une équation ?
Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, désigné par une lettre (l'inconnue). Une solution de l'équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions.
Exemple. $3$ 3 est solution de $2 x + 1 = 7$ 2x+1=7 car $2 \times 3 + 1 = 7$ 2×3+1=7.
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7. Identité
Quelle différence entre une équation et une identité ?
Une identité est une égalité vraie quelles que soient les valeurs données aux lettres, alors qu'une équation n'est vraie que pour certaines valeurs de l'inconnue (ses solutions).
Exemple. $(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$ (x+3)(x-3)=x²-9 est une identité (vraie pour tout $x$ x) ; $x^{2} = 9$ x²=9 est une équation (vraie seulement pour $3$ 3 et $- 3$ -3).
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8. Règles de résolution d'une équation
Quelles opérations a-t-on le droit de faire pour résoudre une équation ?
On obtient une équation qui a les mêmes solutions en ajoutant (ou en soustrayant) un même nombre aux deux membres, ou en multipliant (ou en divisant) les deux membres par un même nombre non nul.
Exemple. $3 x - 2 = 2 x + 5 ⟺ 3 x - 2 x = 5 + 2 ⟺ x = 7$ 3x-2=2x+5⇔3x-2x=5+2⇔ x=7.
Piège. Diviser par 0 est interdit ; et on fait toujours la même opération des deux côtés du signe égal.
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9. Équation produit nul
Énoncer la propriété du produit nul.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Ainsi $A \times B = 0$ A× B=0 équivaut à $A = 0$ A=0 ou $B = 0$ B=0.
Exemple. $(3 x - 2) (x + 3) = 0 ⟺ 3 x - 2 = 0$ (3x-2)(x+3)=0⇔3x-2=0 ou $x + 3 = 0 ⟺ x = \frac{2}{3}$ x+3=0⇔ x=2/3 ou $x = - 3$ x=-3.
Piège. La propriété ne marche qu'avec 0 : un produit égal à 6 ne donne aucune information sur chaque facteur.
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10. Équation x² = a
Combien de solutions l'équation $x^{2} = a$ x²=a a-t-elle ?
Si $a > 0$ a>0, l'équation $x^{2} = a$ x²=a a deux solutions : $a$ √a et $- a$ - √a. Si $a = 0$ a=0, elle a une seule solution : $0$ 0. Si $a < 0$ a<0, elle n'a aucune solution (un carré est toujours positif).
Exemple. $x^{2} = 25 ⟺ x = 5$ x²=25⇔ x=5 ou $x = - 5$ x=-5 ; $x^{2} = - 4$ x²=-4 n'a pas de solution.
Piège. Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente.
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11. Prouver ou réfuter une affirmation
Comment prouve-t-on qu'une propriété est vraie pour tous les nombres ? qu'elle est fausse ?
Pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, il faut un raisonnement général, par exemple un calcul littéral : des exemples, même nombreux, ne suffisent pas. Pour prouver qu'elle est fausse, un seul contre-exemple suffit.
Exemple. « La somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3 » : $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1)$ n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1), donc c'est vrai pour tout entier $n$ n.
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Combien de solutions l'équation x2=ax²=a a-t-elle ?

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