Questions de cours · 17 notions

Nombres et calculs : les questions de cours du brevet

Opposé, inverse, puissances, racine carrée, nombres premiers : les définitions sur les nombres que le brevet peut demander mot pour mot.

1. Opposé d'un nombre
Donner la définition de l'opposé d'un nombre.
L'opposé d'un nombre $a$ a est le nombre $- a$ -a : c'est le nombre dont la somme avec $a$ a est égale à $0$ 0.
Exemple. L'opposé de $- 3, 5$ -3,5 est $3, 5$ 3,5 car $- 3, 5 + 3, 5 = 0$ -3,5+3,5=0.
Piège. Ne pas confondre avec l'inverse : l'opposé change le signe, l'inverse « retourne » le nombre.
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2. Inverse d'un nombre
Donner la définition de l'inverse d'un nombre non nul.
L'inverse d'un nombre $a$ a non nul est le nombre $\frac{1}{a}$ 1/a : c'est le nombre dont le produit avec $a$ a est égal à $1$ 1.
Exemple. L'inverse de $\frac{4}{3}$ 4/3 est $\frac{3}{4}$ 3/4 car $\frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = 1$ 4/3×3/4=1. L'inverse de $0, 5$ 0,5 est $2$ 2.
Piège. $0$ 0 n'a pas d'inverse. Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.
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3. Quotient et nombre rationnel
Qu'est-ce que le quotient de deux nombres ? Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?
Le quotient de $a$ a par $b$ b (avec $b \neq = 0$ b≠0) est le nombre qui, multiplié par $b$ b, donne $a$ a ; on le note $\frac{a}{b}$ a/b. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers.
Exemple. $0, 75 = \frac{3}{4}$ 0,75=3/4 et $- 2 = \frac{- 2}{1}$ -2=(-2)/1 sont rationnels ; $2$ sqrt2 et $π$ π ne le sont pas (ils sont irrationnels).
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4. Égalité de deux fractions
Énoncer la condition d'égalité de deux fractions.
Pour $b \neq = 0$ b≠0 et $d \neq = 0$ d≠0 : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ a/b=c/d si et seulement si $a \times d = b \times c$ a× d=b× c. On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple. $\frac{6}{8} = \frac{9}{12}$ 6/8=9/12 car $6 \times 12 = 72$ 6×12=72 et $8 \times 9 = 72$ 8×9=72.
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5. Fraction irréductible
Quand dit-on qu'une fraction est irréductible ?
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 : on ne peut plus la simplifier.
Exemple. $\frac{12}{18} = \frac{2 \times 6}{3 \times 6} = \frac{2}{3}$ 12/18=2×6/3×6=2/3, et $\frac{2}{3}$ 2/3 est irréductible.
Piège. Pour la rendre irréductible d'un coup, on divise par le plus grand diviseur commun (ou on décompose en facteurs premiers).
Revoir le cours : fraction irréductible →
6. Calculer avec des fractions
Comment additionne-t-on, multiplie-t-on et divise-t-on des fractions ?
Pour additionner (ou soustraire), on écrit les fractions avec le même dénominateur puis on additionne les numérateurs : $\frac{a}{k} + \frac{b}{k} = \frac{a + b}{k}$ a/k+b/k=(a+b)/k. Pour multiplier : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ a/btimesc/d=(a× c)/(b× d). Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ a/bdivc/d=a/btimesd/c.
Exemple. $\frac{3}{5} - \frac{1}{4} = \frac{12}{20} - \frac{5}{20} = \frac{7}{20}$ 3/5-1/4=12/20-5/20=7/20.
Piège. On n'additionne jamais les dénominateurs : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq = \frac{2}{5}$ 1/2+1/3≠2/5.
Revoir le cours : calculer avec des fractions →
7. Règle des signes
Quelle est la règle des signes pour un produit ou un quotient ?
Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est positif ; le produit (ou le quotient) de deux nombres de signes contraires est négatif. Un produit de plusieurs facteurs non nuls est positif s'il contient un nombre pair de facteurs négatifs, négatif sinon.
Exemple. $(- 4) \times (- 2, 5) = 10$ (-4)×(-2,5)=10 ; $(- 2) \times 3 \times (- 1) \times (- 5) = - 30$ (-2)×3×(-1)×(-5)=-30 (trois facteurs négatifs).
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8. Puissance d'un nombre
Donner la définition de $a^{n}$ aⁿ et de $a^{- n}$ a⁻ⁿ.
Pour un nombre $a$ a et un entier $n ⩾ 1$ n≥1 : $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ aⁿ=a× a×…× a ( $n$ n facteurs égaux à $a$ a). Pour $a \neq = 0$ a≠0 : $a^{0} = 1$ a⁰=1 et $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ a⁻ⁿ=1/aⁿ.
Exemple. $2^{5} = 32$ 2⁵=32 ; $1 0^{- 3} = \frac{1}{1 000} = 0, 001$ 10⁻³=1/(1 000)=0,001 ; $(- 3)^{2} = 9$ (-3)²=9 mais $- 3^{2} = - 9$ -3²=-9.
Piège. $a^{n}$ aⁿ n'est pas $a \times n$ a× n : $2^{3} = 8$ 2³=8, pas $6$ 6. Les règles $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ a^(m)× aⁿ=a^(m+n) se retrouvent en revenant à la définition.
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9. Notation scientifique
Qu'est-ce que la notation scientifique d'un nombre ?
La notation scientifique d'un nombre décimal non nul est son écriture sous la forme $a \times 1 0^{n}$ a×10ⁿ, où $a$ a est un nombre décimal tel que $1 ⩽ a < 10$ 1≤ a<10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ n un entier relatif.
Exemple. $45310 = 4, 531 \times 1 0^{4}$ 45 310=4,531×10⁴ et $0, 00086 = 8, 6 \times 1 0^{- 4}$ 0,00086=8,6×10⁻⁴.
Piège. $45, 31 \times 1 0^{3}$ 45,31×10³ est égal au bon nombre, mais ce n'est pas une notation scientifique.
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10. Préfixes de nano à giga
Que signifient les préfixes nano, micro, milli, kilo, méga et giga ?
nano $= 1 0^{- 9}$ =10⁻⁹, micro $= 1 0^{- 6}$ =10⁻⁶, milli $= 1 0^{- 3}$ =10⁻³, kilo $= 1 0^{3}$ =10³, méga $= 1 0^{6}$ =10⁶, giga $= 1 0^{9}$ =10⁹.
Exemple. $1$ 1 GWh $= 1 0^{9}$ =10⁹ Wh ; $1$ 1 nm $= 1 0^{- 9}$ =10⁻⁹ m ; $5$ 5 Mo $= 5 \times 1 0^{6}$ =5×10⁶ octets.
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11. Racine carrée
Donner la définition de la racine carrée d'un nombre positif.
La racine carrée d'un nombre positif $a$ a est le nombre positif dont le carré est égal à $a$ a. On la note $a$ √a : $a ⩾ 0$ √a ≥0 et $(a)^{2} = a$ ( √a )²=a.
Exemple. $49 = 7$ √(49)=7 car $7 ⩾ 0$ 7≥0 et $7^{2} = 49$ 7²=49. Le côté d'un carré d'aire $20$ 20 cm² est $20 \approx 4, 47$ √(20)≈4,47 cm.
Piège. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas, et $a + b \neq = a + b$ √(a+b)≠ √a + √b en général.
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12. Carrés parfaits de 1 à 144
Citer les carrés parfaits jusqu'à 144.
$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 : ce sont les carrés des entiers de $1$ 1 à $12$ 12.
Exemple. Savoir que $81 = 9^{2}$ 81=9² donne immédiatement $81 = 9$ √(81)=9, ou que $121 = 1 1^{2}$ 121=11².
13. Multiple et diviseur
Quand dit-on qu'un entier est un multiple (ou un diviseur) d'un autre ?
Un entier $a$ a est un multiple d'un entier $b$ b s'il existe un entier $k$ k tel que $a = k \times b$ a=k× b. On dit alors que $b$ b est un diviseur de $a$ a, ou que $a$ a est divisible par $b$ b : la division de $a$ a par $b$ b tombe juste.
Exemple. $91 = 7 \times 13$ 91=7×13 : $91$ 91 est un multiple de $7$ 7, et $7$ 7 est un diviseur de $91$ 91.
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14. Critères de divisibilité
Énoncer les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ; par 10 si son chiffre des unités est 0 ; par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ; par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple. $2025$ 2 025 : $2 + 0 + 2 + 5 = 9$ 2+0+2+5=9, donc $2025$ 2 025 est divisible par $3$ 3 et par $9$ 9 (et par $5$ 5).
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15. Division euclidienne
Qu'est-ce que la division euclidienne d'un entier par un autre ?
Effectuer la division euclidienne d'un entier $a$ a par un entier $b$ b non nul, c'est trouver deux entiers $q$ q (le quotient) et $r$ r (le reste) tels que $a = b \times q + r$ a=b× q+r avec $0 ⩽ r < b$ 0≤ r<b.
Exemple. $47 = 6 \times 7 + 5$ 47=6×7+5 : le quotient de $47$ 47 par $6$ 6 est $7$ 7 et le reste est $5$ 5 (car $5 < 6$ 5<6).
Piège. $47 = 6 \times 6 + 11$ 47=6×6+11 est vrai mais n'est pas la division euclidienne : le reste doit être plus petit que le diviseur.
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16. Nombre premier
Donner la définition d'un nombre premier et la liste des nombres premiers inférieurs à 30.
Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
Exemple. $17$ 17 est premier ; $21 = 3 \times 7$ 21=3×7 ne l'est pas.
Piège. 1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur) ; 2 est le seul nombre premier pair.
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17. Décomposition en facteurs premiers
Que signifie décomposer un entier en produit de facteurs premiers ?
Tout entier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près). On l'obtient en divisant successivement par 2, 3, 5, 7, … tant que c'est possible.
Exemple. $360 = 2 \times 180 = 2^{3} \times 45 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ 360=2×180=2³×45=2³×3²×5.
Piège. $2^{2} \times 5 \times 15$ 2²×5×15 n'est pas une décomposition en facteurs premiers : $15$ 15 n'est pas premier.
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