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Exercices corrigés : Fonction exponentielle — Première spécialité

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Fonction exponentielle

Niveau: Première spécialité
Chapitre: Fonction exponentielle
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type bac

Mis à jour le 15 octobre 2026

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $R$ ℝ égale à sa dérivée et valant $1$ 1 en $0$ 0. Elle transforme les sommes en produits, $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ e ^(x+y)= e ^(x) e ^(y), elle est strictement positive et strictement croissante. Ces 20 exercices corrigés de Première spécialité couvrent tout le chapitre : simplifier, résoudre des équations et des inéquations, dériver $t \mapsto e^{a t}$ t↦ e ^(at), étudier des fonctions comme $(x - 1) e^{x}$ (x-1) e ^(x), relier l'exponentielle aux suites géométriques et à la méthode d'Euler, et modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle.

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Exercice 1 — Écrire sous la forme e^a

Application directe

Écris chaque nombre sous la forme $e^{a}$ e ^(a).

1. $e^{2} \times e^{5}$ e ²× e ⁵
2. $\frac{e ^{4}}{e ^{- 1}}$ (e ⁴)/(e ⁻¹)
3. $(e^{- 2})^{3}$ ( e ⁻²)³

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Correction détaillée

1
Les règles sont celles des puissances : $e^{a} e^{b} = e^{a + b}$ e ^(a) e ^(b)= e ^(a+b), $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ (e ^(a))/(e ^(b))= e ^(a-b), $(e^{a})^{n} = e^{na}$ ( e ^(a))ⁿ= e ^(na).
2
$e^{2} \times e^{5} = e^{7}$ e ²× e ⁵= e ⁷.
3
$\frac{e ^{4}}{e ^{- 1}} = e^{4 - (- 1)} = e^{5}$ (e ⁴)/(e ⁻¹)= e ⁴⁻⁽⁻¹⁾= e ⁵.
4
$(e^{- 2})^{3} = e^{- 6}$ ( e ⁻²)³= e ⁻⁶.

Réponse :

e^{7}

e ⁷ ·

e^{5}

e ⁵ ·

e^{- 6}

e ⁻⁶.

Exercice 2 — Simplifier avec x

Application directe

Pour tout réel $x$ x, simplifie $A = e^{3 x} \times e^{1 - x}$ A= e ^(3x)× e ^(1-x) et $B = \frac{e ^{2 x + 1}}{e ^{x - 2}}$ B=(e ^(2x+1))/(e ^(x-2)).

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Correction détaillée

1
$A = e^{3 x + 1 - x} = e^{2 x + 1}$ A= e ^(3x+1-x)= e ^(2x+1).
2
$B = e^{(2 x + 1) - (x - 2)} = e^{x + 3}$ B= e ^((2x+1)-(x-2))= e ^(x+3).
3
Attention aux parenthèses : $- (x - 2) = - x + 2$ -(x-2)=-x+2.

Réponse :

A = e^{2 x + 1}

A= e ^(2x+1) ;

B = e^{x + 3}

B= e ^(x+3).

Erreur fréquente : $e^{a} \times e^{b} \neq = e^{ab}$ e ^(a)× e ^(b)≠ e ^(ab) : on additionne les exposants.

Exercice 3 — Développer

Application directe

Pour tout réel $x$ x, développe $(e^{x} + 2)^{2}$ ( e ^(x)+2)² et $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ ( e ^(x)- e ^(-x))( e ^(x)+ e ^(-x)).

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Correction détaillée

1
$(e^{x} + 2)^{2} = e^{2 x} + 4 e^{x} + 4$ ( e ^(x)+2)²= e ^(2x)+4 e ^(x)+4, car $(e^{x})^{2} = e^{2 x}$ ( e ^(x))²= e ^(2x).
2
$(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) = (e^{x})^{2} - (e^{- x})^{2} = e^{2 x} - e^{- 2 x}$ ( e ^(x)- e ^(-x))( e ^(x)+ e ^(-x))=( e ^(x))²-( e ^(-x))²= e ^(2x)- e ^(-2x).

Réponse :

e^{2 x} + 4 e^{x} + 4

e ^(2x)+4 e ^(x)+4 ·

e^{2 x} - e^{- 2 x}

e ^(2x)- e ^(-2x).

Exercice 4 — Équations simples

Application directe

Résous dans $R$ ℝ : $e^{2 x - 3} = e^{x + 1}$ e ^(2x-3)= e ^(x+1), puis $e^{4 x} = 1$ e ^(4x)=1, puis $e^{x} = - 5$ e ^(x)=-5.

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1
L'exponentielle est strictement croissante : $e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$ e ^(a)= e ^(b)⇔ a=b.
2
$2 x - 3 = x + 1 ⟺ x = 4$ 2x-3=x+1⇔ x=4.
3
$e^{4 x} = e^{0} ⟺ 4 x = 0 ⟺ x = 0$ e ^(4x)= e ⁰⇔ 4x=0⇔ x=0.
4
$e^{x} > 0$ e ^(x)>0 pour tout $x$ x : $e^{x} = - 5$ e ^(x)=-5 n'a pas de solution.

Réponse :

S = {4}

S={4} ·

S = {0}

S={0} ·

S = \emptyset

S=∅.

Exercice 5 — Inéquations

À maîtriser

Résous dans $R$ ℝ : $e^{1 - x} ⩾ e^{3}$ e ^(1-x)≥ e ³ et $e^{2 x} < e$ e ^(2x)< e.

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1
L'exponentielle conserve l'ordre : $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ e ^(a)< e ^(b)⇔ a<b.
2
$1 - x ⩾ 3 ⟺ - x ⩾ 2 ⟺ x ⩽ - 2$ 1-x≥ 3⇔ -x≥ 2⇔ x≤ -2 : $S =] - \infty; - 2]$ S=]-∞ ;-2].
3
$e^{2 x} < e^{1} ⟺ 2 x < 1 ⟺ x < \frac{1}{2}$ e ^(2x)< e ¹⇔ 2x<1⇔ x<1/2 : $S =] - \infty; \frac{1}{2} [$ S=]-∞ ;1/2[.

Réponse :

] - \infty; - 2]

]-∞ ;-2] ·

] - \infty; \frac{1}{2} [

]-∞ ;1/2[.

Exercice 6 — Exposant du second degré

À maîtriser

Résous dans $R$ ℝ l'équation $e^{x^{2}} = e^{5 x - 6}$ e ^(x²)= e ^(5x-6).

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1
$e^{x^{2}} = e^{5 x - 6} ⟺ x^{2} - 5 x + 6 = 0$ e ^(x²)= e ^(5x-6)⇔ x²-5x+6=0.
2
$Δ = 25 - 24 = 1$ Δ=25-24=1, racines $\frac{5 \pm 1}{2}$ 5±1/2, soit $2$ 2 et $3$ 3.
3
Contrôle : $x = 2$ x=2 donne $e^{4}$ e ⁴ des deux côtés ; $x = 3$ x=3 donne $e^{9}$ e ⁹.

Réponse :

S = {2; 3}

S={2 ;3}.

Exercice 7 — Factoriser pour résoudre

À maîtriser

Résous dans $R$ ℝ : $x e^{x} - 3 e^{x} = 0$ x e ^(x)-3 e ^(x)=0, puis $(x - 3) e^{x} < 0$ (x-3) e ^(x)<0.

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Correction détaillée

1
On factorise : $x e^{x} - 3 e^{x} = (x - 3) e^{x}$ x e ^(x)-3 e ^(x)=(x-3) e ^(x).
2
Comme $e^{x} > 0$ e ^(x)>0, le produit est nul si et seulement si $x - 3 = 0$ x-3=0, soit $x = 3$ x=3.
3
Le produit a le signe de $x - 3$ x-3 : $(x - 3) e^{x} < 0 ⟺ x < 3$ (x-3) e ^(x)<0⇔ x<3.

Réponse :

S = {3}

S={3} ·

S =] - \infty; 3 [

S=]-∞ ;3[.

Exercice 8 — Dérivées

À maîtriser

Calcule la dérivée de $f (x) = 4 e^{x} - x^{3}$ f(x)=4 e ^(x)-x³, de $g (t) = 6 e^{- 0, 5 t}$ g(t)=6 e ^(-0,5t) et de $h (x) = x e^{x}$ h(x)=x e ^(x).

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Correction détaillée

1
$f^{'} (x) = 4 e^{x} - 3 x^{2}$ f'(x)=4 e ^(x)-3x².
2
Avec $(e^{a t})^{'} = a e^{a t}$ ( e ^(at))'=a e ^(at) : $g^{'} (t) = 6 \times (- 0, 5) e^{- 0, 5 t} = - 3 e^{- 0, 5 t}$ g'(t)=6×(-0,5) e ^(-0,5t)=-3 e ^(-0,5t).
3
Produit : $h^{'} (x) = 1 \times e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x}$ h'(x)=1× e ^(x)+x e ^(x)=(x+1) e ^(x).

Réponse :

4 e^{x} - 3 x^{2}

4 e ^(x)-3x² ·

- 3 e^{- 0, 5 t}

-3 e ^(-0,5t) ·

(x + 1) e^{x}

(x+1) e ^(x).

Erreur fréquente : Oublier le facteur $a$ a en dérivant $e^{a t}$ e ^(at).

Exercice 9 — Dérivée d'un quotient

À maîtriser

Calcule la dérivée de $f (x) = \frac{e ^{x}}{x ^{2} + 1}$ f(x)=(e ^(x))/(x²+1) sur $R$ ℝ et étudie son signe.

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Correction détaillée

1
Formule du quotient avec $u = e^{x}$ u= e ^(x), $v = x^{2} + 1$ v=x²+1, $v^{'} = 2 x$ v'=2x : $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{2} + 1 ) - e ^{x} \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( x ^{2} - 2 x + 1 ) e ^{x}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ f'(x)=(e ^(x)(x²+1)- e ^(x)×2x)/((x²+1)²)=((x²-2x+1) e ^(x))/((x²+1)²).
2
Or $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} ⩾ 0$ x²-2x+1=(x-1)²≥0, $e^{x} > 0$ e ^(x)>0 et $(x^{2} + 1)^{2} > 0$ (x²+1)²>0.
3
Donc $f^{'} (x) ⩾ 0$ f'(x)≥0, nul seulement en $x = 1$ x=1 : $f$ f est croissante sur $R$ ℝ.

Réponse :

f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2} e ^{x}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} ⩾ 0

f'(x)=((x-1)² e ^(x))/((x²+1)²)≥0.

Exercice 10 — Étude d'une fonction

Type contrôle

Soit $f (x) = (x + 2) e^{x}$ f(x)=(x+2) e ^(x) sur $R$ ℝ.

Étudie ses variations et donne son minimum.

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Correction détaillée

1
Produit : $f^{'} (x) = e^{x} + (x + 2) e^{x} = (x + 3) e^{x}$ f'(x)= e ^(x)+(x+2) e ^(x)=(x+3) e ^(x).
2
$e^{x} > 0$ e ^(x)>0 : $f^{'} (x)$ f'(x) a le signe de $x + 3$ x+3, négatif pour $x < - 3$ x<-3, positif pour $x > - 3$ x>-3.
3
$f$ f est décroissante sur $] - \infty; - 3]$ ]-∞ ;-3] et croissante sur $[- 3; + \infty [$ [-3 ;+∞[.
4
Minimum : $f (- 3) = (- 3 + 2) e^{- 3} = - e^{- 3} \approx - 0, 050$ f(-3)=(-3+2) e ⁻³=- e ⁻³≈-0,050.

Réponse : Minimum

- e^{- 3} \approx - 0, 05

- e ⁻³≈-0,05 en

x = - 3

x=-3.

Exercice 11 — Un maximum avec e^(-x)

Type contrôle

Soit $f (x) = 2 x e^{- x}$ f(x)=2x e ^(-x) sur $R$ ℝ.

Montre que $f^{'} (x) = 2 (1 - x) e^{- x}$ f'(x)=2(1-x) e ^(-x) et donne le maximum de $f$ f.

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Correction détaillée

1
Produit de $u = 2 x$ u=2x et $v = e^{- x}$ v= e ^(-x), avec $v^{'} = - e^{- x}$ v'=- e ^(-x) : $f^{'} (x) = 2 e^{- x} - 2 x e^{- x} = 2 (1 - x) e^{- x}$ f'(x)=2 e ^(-x)-2x e ^(-x)=2(1-x) e ^(-x).
2
$e^{- x} > 0$ e ^(-x)>0 : $f^{'} (x)$ f'(x) a le signe de $1 - x$ 1-x ; $f$ f croît sur $] - \infty; 1]$ ]-∞ ;1] puis décroît.
3
Maximum : $f (1) = 2 e^{- 1} \approx 0, 736$ f(1)=2 e ⁻¹≈0,736.

Réponse : Maximum

2 e^{- 1} \approx 0, 736

2 e ⁻¹≈0,736 en

x = 1

x=1.

Exercice 12 — Équation de tangente

Type contrôle

Détermine l'équation de la tangente à la courbe de $f (x) = x e^{x}$ f(x)=x e ^(x) au point d'abscisse $1$ 1.

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Correction détaillée

1
$f^{'} (x) = (x + 1) e^{x}$ f'(x)=(x+1) e ^(x), donc $f (1) = e$ f(1)= e et $f^{'} (1) = 2 e$ f'(1)=2 e.
2
Tangente : $y = f^{'} (1) (x - 1) + f (1) = 2 e (x - 1) + e = 2 e x - e$ y=f'(1)(x-1)+f(1)=2 e (x-1)+ e =2 e x- e.

Réponse :

y = 2 e x - e

y=2 e x- e.

Rappel de cours : Tangente en $a$ a : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ y=f'(a)(x-a)+f(a).

Exercice 13 — Une inégalité célèbre

Type contrôle

Démontre que pour tout réel $x$ x, $e^{x} ⩾ 1 + x$ e ^(x)≥ 1+x, en étudiant $g (x) = e^{x} - 1 - x$ g(x)= e ^(x)-1-x.

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Correction détaillée

1
$g^{'} (x) = e^{x} - 1$ g'(x)= e ^(x)-1, positif si et seulement si $e^{x} ⩾ e^{0}$ e ^(x)≥ e ⁰, c'est-à-dire $x ⩾ 0$ x≥0.
2
$g$ g est décroissante sur $] - \infty; 0]$ ]-∞ ;0], croissante sur $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[ : son minimum est $g (0) = 0$ g(0)=0.
3
Donc $g (x) ⩾ 0$ g(x)≥0 pour tout $x$ x, soit $e^{x} ⩾ 1 + x$ e ^(x)≥1+x.
4
Graphiquement, la courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa tangente en $0$ 0, d'équation $y = x + 1$ y=x+1.

Réponse :

g

g a pour minimum

0

0 :

e^{x} ⩾ 1 + x

e ^(x)≥1+x.

Exercice 14 — Suite géométrique

À maîtriser

Soit $u_{n} = 5 e^{- 0, 5 n}$ uₙ=5 e ^(-0,5n) pour $n ⩾ 0$ n≥0.

Montre que $(u_{n})$ (uₙ) est géométrique, donne sa raison et son sens de variation.

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Correction détaillée

1
$u_{n + 1} = 5 e^{- 0, 5 n - 0, 5} = 5 e^{- 0, 5 n} \times e^{- 0, 5} = e^{- 0, 5} u_{n}$ uₙ₊₁=5 e ^(-0,5n-0,5)=5 e ^(-0,5n)× e ^(-0,5)= e ^(-0,5) uₙ.
2
La suite est géométrique de raison $q = e^{- 0, 5} \approx 0, 607$ q= e ^(-0,5)≈0,607 et de premier terme $u_{0} = 5$ u₀=5.
3
$0 < q < 1$ 0<q<1 et $u_{0} > 0$ u₀>0 : la suite est strictement décroissante.

Réponse : Raison

e^{- 0, 5} \approx 0, 607

e ^(-0,5)≈0,607, décroissante.

Exercice 15 — Somme de termes

Type contrôle

Calcule la valeur exacte puis une valeur approchée de $S = 1 + e + e^{2} + e^{3} + e^{4}$ S=1+ e + e ²+ e ³+ e ⁴.

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Correction détaillée

1
C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $q = e \neq = 1$ q= e ≠1 : $1 + q + \dots + q^{n} = \frac{q ^{n + 1} - 1}{q - 1}$ 1+q+…+qⁿ=(qⁿ⁺¹-1)/(q-1).
2
Avec $n = 4$ n=4 : $S = \frac{e ^{5} - 1}{e - 1}$ S=(e ⁵-1)/(e -1).
3
À la calculatrice, $S \approx 85, 79$ S≈85,79.

Réponse :

S = \frac{e ^{5} - 1}{e - 1} \approx 85, 79

S=(e ⁵-1)/(e -1)≈85,79.

Exercice 16 — Méthode d'Euler

Type contrôle

On approche la fonction exponentielle par la méthode d'Euler avec le pas $h = 0, 25$ h=0,25, à partir de $f (0) = 1$ f(0)=1.

Donne l'approximation obtenue pour $f (1)$ f(1) et compare-la à $e$ e.

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Correction détaillée

1
Comme $f^{'} = f$ f'=f, l'approximation affine donne $f (x + h) \approx (1 + h) f (x)$ f(x+h)≈(1+h)f(x) : chaque pas multiplie par $1, 25$ 1,25.
2
Quatre pas mènent de $0$ 0 à $1$ 1 : $f (1) \approx 1, 2 5^{4} \approx 2, 441$ f(1)≈1,25⁴≈2,441.
3
La valeur exacte est $e \approx 2, 718$ e ≈2,718 : l'erreur est d'environ $0, 28$ 0,28.
Un pas plus petit améliore la précision.

Réponse :

1, 2 5^{4} \approx 2, 441

1,25⁴≈2,441 (pour

e \approx 2, 718

e ≈2,718).

Exercice 17 — Décroissance radioactive

Type contrôle

Un échantillon contient $N (t) = 600 e^{- 0, 1 t}$ N(t)=600 e ^(-0,1t) milliards de noyaux radioactifs après $t$ t années.

1.Calcule $N (5)$ N(5) et $N (10)$ N(10) à l'unité.
2.Montre que $N$ N est décroissante.
3.Encadre la demi-vie par deux entiers.

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Correction détaillée

1
$N (5) = 600 e^{- 0, 5} \approx 364$ N(5)=600 e ^(-0,5)≈364 ; $N (10) = 600 e^{- 1} \approx 221$ N(10)=600 e ⁻¹≈221.
2
$N^{'} (t) = 600 \times (- 0, 1) e^{- 0, 1 t} = - 60 e^{- 0, 1 t} < 0$ N'(t)=600×(-0,1) e ^(-0,1t)=-60 e ^(-0,1t)<0 : $N$ N est strictement décroissante.
3
On cherche quand $N (t) = 300$ N(t)=300 : $N (6) = 600 e^{- 0, 6} \approx 329$ N(6)=600 e ^(-0,6)≈329 et $N (7) = 600 e^{- 0, 7} \approx 298$ N(7)=600 e ^(-0,7)≈298.
4
La demi-vie est comprise entre $6$ 6 et $7$ 7 ans.

Réponse :

364

364 ;

221

221 ; demi-vie entre

6

6 et

7

7 ans.

Exercice 18 — Capital placé

Type contrôle

On place $300$ 300 € « en continu » au taux de $5 %$ 5 % : le capital vaut $C (t) = 300 e^{0, 05 t}$ C(t)=300 e ^(0,05t) après $t$ t années.

Calcule $C (10)$ C(10) et compare avec un placement à intérêts composés annuels, $300 \times 1, 0 5^{10}$ 300×1,05¹⁰.

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Correction détaillée

1
$C (10) = 300 e^{0, 5} \approx 494, 62$ C(10)=300 e ^(0,5)≈494,62 €.
2
Placement annuel : $300 \times 1, 0 5^{10} \approx 488, 67$ 300×1,05¹⁰≈488,67 €.
3
Le placement continu rapporte un peu plus : chaque année il multiplie le capital par $e^{0, 05} \approx 1, 0513$ e ^(0,05)≈1,051 3, un peu plus que $1, 05$ 1,05.

Réponse :

\approx 494, 62

≈494,62 € contre

\approx 488, 67

≈488,67 €.

Exercice 19 — Concentration maximale

Type bac / défi

La concentration d'un médicament (en mg/L) est $C (t) = 9 t e^{- t}$ C(t)=9t e ^(-t) pour $t ⩾ 0$ t≥0 (en heures).

Quand est-elle maximale, et que vaut ce maximum ?

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Correction détaillée

1
Produit : $C^{'} (t) = 9 e^{- t} + 9 t \times (- e^{- t}) = 9 (1 - t) e^{- t}$ C'(t)=9 e ^(-t)+9t×(- e ^(-t))=9(1-t) e ^(-t).
2
$e^{- t} > 0$ e ^(-t)>0 : $C^{'} (t)$ C'(t) a le signe de $1 - t$ 1-t, positif avant $1$ 1, négatif après.
3
La concentration est maximale au bout d'une heure : $C (1) = 9 e^{- 1} \approx 3, 31$ C(1)=9 e ⁻¹≈3,31 mg/L.

Réponse : Au bout d'une heure ;

9 e^{- 1} \approx 3, 31

9 e ⁻¹≈3,31 mg/L.

Exercice 20 — Refroidissement

Type bac / défi

La température d'une boisson (en °C) est $T (t) = 4 + 18 e^{- 0, 2 t}$ T(t)=4+18 e ^(-0,2t), où $t$ t est en minutes après sa mise au réfrigérateur.

1.Calcule $T (0)$ T(0) et étudie les variations de $T$ T.
2.Au bout de combien de minutes entières la boisson est-elle sous $10$ 10 °C ?

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Correction détaillée

1
$T (0) = 4 + 18 = 22$ T(0)=4+18=22 °C.
$T^{'} (t) = 18 \times (- 0, 2) e^{- 0, 2 t} = - 3, 6 e^{- 0, 2 t} < 0$ T'(t)=18×(-0,2) e ^(-0,2t)=-3,6 e ^(-0,2t)<0 : $T$ T est strictement décroissante.
2
À la calculatrice : $T (5) = 4 + 18 e^{- 1} \approx 10, 6$ T(5)=4+18 e ⁻¹≈10,6 °C et $T (6) = 4 + 18 e^{- 1, 2} \approx 9, 4$ T(6)=4+18 e ^(-1,2)≈9,4 °C.
3
La boisson passe sous $10$ 10 °C au bout de $6$ 6 minutes.