Exercices corrigés : Inéquations du second degré — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =25-24=1>0$Δ=25-24=1>0, racines $x=\frac{5\pm 1}{2}$x=(5± 1)/2 : $2$2 et $3$3.

2. 2

   $a=1>0$a=1>0 : positif à l'extérieur des racines, négatif entre.

3. 3

   $f(x)>0$f(x)>0 sur $]-\infty ;2[\cup ]3;+\infty [$]-∞;2[∪]3;+∞[, $f(x)<0$f(x)<0 sur $]2;3[$]2;3[.

Rappel de cours : « Signe de $a$a à l'extérieur des racines, signe de $-a$-a entre. »

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1. 1

   Racines de $x^2-4$x²-4 : $x=\pm 2$x=± 2.

   $a=1>0$a=1>0 : négatif entre les racines.

2. 2

   $x^2-4<0⟺x\in ]-2;2[$x²-4<0 ⇔ x∈ ]-2;2[.

Rappel de cours : On cherche où le trinôme est négatif : c'est l'intervalle entre les racines (si $a>0$a>0).

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1. 1

   Racines $\pm 3$± 3, $a>0$a>0 : positif à l'extérieur.

2. 2

   $\ge$≥ (large) inclut les racines : $x\le -3$x≤ -3 ou $x\ge 3$x≥ 3.

Erreur fréquente : Avec $\ge$≥, les racines sont incluses (crochets fermés). Avec $>$>, elles sont exclues.

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1. 1

   $\Delta =4+32=36$Δ=4+32=36, racines $x=\frac{-2-6}{-4}=2$x=(-2-6)/(-4)=2 et $x=\frac{-2+6}{-4}=-1$x=(-2+6)/(-4)=-1.

2. 2

   $a=-2<0$a=-2<0 : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

Rappel de cours : Signe de $a{x}^2+bx+c$ax²+bx+c : signe de $a$a à l'extérieur des racines, signe contraire entre.

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1. 1

   $\Delta =16-12=4>0$Δ=16-12=4>0, racines $x=\frac{-4\pm 2}{-2}$x=(-4± 2)/(-2) : $1$1 et $3$3.

2. 2

   $a=-1<0$a=-1<0 : positif ENTRE les racines, négatif à l'extérieur.

3. 3

   $\ge 0$≥ 0 : on prend l'intervalle où c'est positif, bornes incluses : $[1;3]$[1;3].

Rappel de cours : Avec $a<0$a<0, le trinôme est positif entre les racines (l'inverse de $a>0$a>0).

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1. 1

   $\Delta =36-36=0$Δ=36-36=0 : racine double $x=3$x=3.

   $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$x²-6x+9=(x-3)².

2. 2

   $(x-3{)}^2>0$(x-3)²>0 pour tout $x\ne 3$x≠ 3 (un carré est positif, nul seulement en $3$3).

Rappel de cours : $\Delta =0$Δ=0 : le trinôme est un carré parfait, du signe de $a$a partout sauf qu'il s'annule à la racine double.

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1. 1

   $\Delta =1-4=-3<0$Δ=1-4=-3<0 : aucune racine, signe constant.

2. 2

   Le signe est celui de $a=1>0$a=1>0 : le trinôme est toujours positif.

3. 3

   Donc $x^2+x+1>0$x²+x+1>0 pour tout réel $x$x.

Rappel de cours : $\Delta <0$Δ<0 : le trinôme garde le signe de $a$a. Ici toujours $>0$>0, l'inéquation est vraie partout.

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1. 1

   $\Delta =4+4=8$Δ=4+4=8, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$sqrt8=2sqrt2.

   Racines : $\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$(2± 2sqrt2)/2=1±sqrt2.

2. 2

   $a=1>0$a=1>0 : le trinôme est négatif ou nul entre les racines.

Rappel de cours : Inégalité large : les racines sont incluses dans l'ensemble des solutions.

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1. 1

   On ramène tout à gauche : $3x^2-2x\ge 0⟺x(3x-2)\ge 0$3x²-2x≥ 0⇔ x(3x-2)≥ 0.

2. 2

   Racines $0$0 et $\frac{2}{3}$2/3, $a=3>0$a=3>0 : positif à l'extérieur des racines.

Rappel de cours : On compare toujours à $0$0 avant d'étudier un signe.

Erreur fréquente : Diviser par $x$x donne « $3x\ge 2$3x≥ 2 » et fait perdre tous les $x\le 0$x≤ 0.

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1. 1

   On ramène tout d'un côté : $x^2+2x-8\le 0$x²+2x-8≤ 0.

2. 2

   $\Delta =4+32=36$Δ=4+32=36, racines $\frac{-2\pm 6}{2}$(-2± 6)/2 : $-4$-4 et $2$2.

   $a>0$a>0 : négatif entre.

3. 3

   $\le 0$≤ 0 : $x\in [-4;2]$x∈[-4;2].

Rappel de cours : Toujours tout ramener à « $\dots \square 0$… square 0 » avant d'étudier le signe.

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1. 1

   $x^2\le 2x+3⟺x^2-2x-3\le 0$x²≤ 2x+3 ⇔ x²-2x-3≤ 0.

2. 2

   $\Delta =4+12=16$Δ=4+12=16, racines $\frac{2\pm 4}{2}$(2± 4)/2 : $-1$-1 et $3$3.

   $a>0$a>0 : négatif entre.

3. 3

   $S=[-1;3]$S=[-1;3].

Rappel de cours : Comparer deux expressions revient à étudier le signe de leur différence.

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1. 1

   On étudie le signe du quotient avec un tableau.

   Le numérateur s'annule en $1$1, le dénominateur en $-2$-2 (valeur interdite).

2. 2

   $x+2>0⟺x>-2$x+2>0 ⇔ x>-2 ; $x-1>0⟺x>1$x-1>0 ⇔ x>1.

   Le quotient est $\ge 0$≥ 0 quand numérateur et dénominateur sont de même signe.

3. 3

   Tableau : positif sur $]-\infty ;-2[$]-∞;-2[ (les deux $<0$<0) et sur $[1;+\infty [$[1;+∞[ (les deux $>0$>0).

   En $x=-2$x=-2 : interdit.

Rappel de cours : Pour un quotient, on fait un tableau de signes du numérateur ET du dénominateur. La valeur interdite est toujours exclue.

Erreur fréquente : $x=-2$x=-2 annule le dénominateur : il est exclu (crochet ouvert), même avec une inégalité large.

Correction détaillée

1. 1

   Racines : $x-1=0$x-1=0 en $1$1 ; $x^2-4=0$x²-4=0 en $\pm 2$± 2.

   On range : $-2,1,2$-2,1,2.

2. 2

   Tableau de signes du produit sur ces intervalles : on teste un point dans chaque zone.

   Pour $x=-3$x=-3 : $(-)(+)=-$(-)(+)=-.

   Pour $x=0$x=0 : $(-)(-)=+$(-)(-)=+.

   Pour $x=1,5$x=1,5 : $(+)(-)=-$(+)(-)=-.

   Pour $x=3$x=3 : $(+)(+)=+$(+)(+)=+.

3. 3

   $\le 0$≤ 0 : $x\le -2$x≤ -2 ou $1\le x\le 2$1≤ x≤ 2, bornes incluses.

Rappel de cours : Produit de facteurs : tableau de signes de chaque facteur, puis règle des signes. Le produit est nul aux racines.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche $-x^2+3\ge 2x⟺-x^2-2x+3\ge 0⟺x^2+2x-3\le 0$-x²+3≥ 2x⇔ -x²-2x+3≥ 0⇔ x²+2x-3≤ 0 (on multiplie par $-1$-1 et on change le sens).

2. 2

   $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$x²+2x-3=(x+3)(x-1), racines $-3$-3 et $1$1, $a>0$a>0 : négatif entre les racines.

Rappel de cours : « ${\mathcal{C}}_f$C _f au-dessus de ${\mathcal{C}}_g$C _g » $⟺f(x)-g(x)\ge 0$⇔ f(x)-g(x)≥ 0.

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =100-84=16$Δ=100-84=16, racines $\frac{10-4}{2}=3$(10-4)/2=3 et $\frac{10+4}{2}=7$(10+4)/2=7.

2. 2

   $a>0$a>0 : le trinôme est strictement négatif sur $]3;7[$]3 ;7[.

3. 3

   Entiers de $]3;7[$]3 ;7[ : $4$4, $5$5, $6$6 ($3$3 et $7$7 sont exclus car le trinôme y est nul).

Rappel de cours : Inégalité stricte : les racines sont exclues.

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1. 1

   Une racine carrée exige un radicande $\ge 0$≥ 0 : $x^2-x-6\ge 0$x²-x-6≥ 0.

2. 2

   $\Delta =1+24=25$Δ=1+24=25, racines $\frac{1\pm 5}{2}$(1± 5)/2 : $-2$-2 et $3$3.

   $a>0$a>0 : positif à l'extérieur.

3. 3

   $x^2-x-6\ge 0⟺x\le -2$x²-x-6≥ 0 ⇔ x≤ -2 ou $x\ge 3$x≥ 3.

Rappel de cours : Domaine d'une racine : on résout (expression sous la racine) $\ge 0$≥ 0. C'est une inéquation du second degré.

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1. 1

   $a=1>0$a=1>0 : le trinôme est toujours $>0$>0 si et seulement s'il n'a pas de racine, c'est-à-dire $\Delta <0$Δ<0.

2. 2

   $\Delta =m^2-4$Δ=m²-4.

   $\Delta <0⟺m^2<4⟺-2<m<2$Δ<0 ⇔ m²<4 ⇔ -2<m<2.

Rappel de cours : Trinôme $>0$>0 partout (avec $a>0$a>0) $⟺\Delta <0$⇔Δ<0. On résout l'inéquation en le paramètre.

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1. 1

   $B(x)>0$B(x)>0 : $-x^2+10x-16>0$-x²+10x-16>0.

   $\Delta =100-64=36$Δ=100-64=36, racines $\frac{-10\pm 6}{-2}$(-10± 6)/(-2) : $2$2 et $8$8.

2. 2

   $a=-1<0$a=-1<0 : positif ENTRE les racines.

3. 3

   $B(x)>0⟺x\in ]2;8[$B(x)>0 ⇔ x∈ ]2;8[ : l'entreprise est bénéficiaire pour une production entre $2$2 et $8$8 (en milliers).

Rappel de cours : Beaucoup de problèmes économiques se ramènent au signe d'un trinôme : seuil de rentabilité = racines, zone de bénéfice = intervalle de positivité.

Correction détaillée

1. 1

   Numérateur $x^2-1=(x-1)(x+1)$x²-1=(x-1)(x+1) s'annule en $\pm 1$± 1 ; dénominateur en $2$2 (interdit).

   Points : $-1,1,2$-1,1,2.

2. 2

   Signe du numérateur : $>0$>0 hors $[-1;1]$[-1;1], $<0$<0 entre.

   Signe du dénominateur : $<0$<0 si $x<2$x<2, $>0$>0 si $x>2$x>2.

3. 3

   Tableau du quotient : sur $]-\infty ;-1]$]-∞;-1] : $\frac{+}{-}=-$+/-=- ; sur $[-1;1]$[-1;1] : $\frac{-}{-}=+$-/-=+ ; sur $[1;2[$[1;2[ : $\frac{+}{-}=-$+/-=- ; sur $]2;+\infty [$]2;+∞[ : $\frac{+}{+}=+$+/+=+.

   On veut $\le 0$≤ 0.

4. 4

   $S=]-\infty ;-1]\cup [1;2[$S= ]-∞;-1]∪[1;2[ (les racines $\pm 1$± 1 incluses, $2$2 exclu).

Rappel de cours : Quotient : factoriser le numérateur, tableau de signes complet, exclure la valeur interdite. Les zéros du numérateur sont inclus si l'inégalité est large.

Correction détaillée

1. 1

   $h(t)\ge 16⟺-5t^2+20t-15\ge 0⟺t^2-4t+3\le 0$h(t)≥ 16⇔ -5t²+20t-15≥ 0⇔ t²-4t+3≤ 0 (division par $-5$-5, le sens change).

2. 2

   $t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$t²-4t+3=(t-1)(t-3) : négatif ou nul pour $t\in [1;3]$t∈[1 ;3].

3. 3

   La balle est au-dessus de $16$16 m entre $t=1$t=1 s et $t=3$t=3 s, soit pendant $2$2 secondes.

4. 4

   Contrôle : $h(2)=-20+40+1=21$h(2)=-20+40+1=21 m, hauteur maximale atteinte au milieu de l'intervalle.

Rappel de cours : Diviser une inéquation par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.