Exercices corrigés : Nombre dérivé — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   Taux d'accroissement $=\frac{f(5)-f(2)}{5-2}$=(f(5)-f(2))/(5-2).

2. 2

   $=\frac{25-4}{3}=\frac{21}{3}=7$=(25-4)/3=21/3=7.

Rappel de cours : Taux d'accroissement entre $a$a et $b$b : $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$(f(b)-f(a))/(b-a). C'est la pente de la corde $[AB]$[AB].

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1. 1

   $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h{)}^2-9}{h}$(f(3+h)-f(3))/h=((3+h)²-9)/h.

2. 2

   $(3+h{)}^2=9+6h+h^2$(3+h)²=9+6h+h², donc le numérateur vaut $6h+h^2$6h+h².

3. 3

   $\frac{6h+h^2}{h}=6+h$(6h+h²)/h=6+h (pour $h\ne 0$h≠ 0).

Rappel de cours : On développe $(a+h{)}^2$(a+h)², on simplifie par $h$h : le taux devient une expression en $h$h sans division.

Correction détaillée

1. 1

   $f(1)=1-3=-2$f(1)=1-3=-2 et $f(3)=9-9=0$f(3)=9-9=0.

2. 2

   Taux : $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{0-(-2)}{2}=1$(f(3)-f(1))/(3-1)=(0-(-2))/2=1.

3. 3

   C'est le coefficient directeur de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses $1$1 et $3$3.

Rappel de cours : Taux d'accroissement entre $a$a et $b$b : $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$(f(b)-f(a))/(b-a).

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1. 1

   $f^{\prime }(3)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(6+h)$f'(3)=lim_h→ 0(f(3+h)-f(3))/h=lim_h→ 0(6+h).

2. 2

   Quand $h\to 0$h→ 0, $6+h\to 6$6+h→ 6.

Rappel de cours : $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$f'(a)=lim_h→ 0(f(a+h)-f(a))/h. On simplifie le taux, puis on fait $h\to 0$h→ 0.

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1. 1

   $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{[3(a+h)+2]-[3a+2]}{h}=\frac{3h}{h}=3$(f(a+h)-f(a))/h=([3(a+h)+2]-[3a+2])/h=3h/h=3.

2. 2

   La limite quand $h\to 0$h→ 0 est $3$3 (constante).

Rappel de cours : Une fonction affine $mx+p$mx+p a un nombre dérivé constant égal à sa pente $m$m.

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1. 1

   $f^{\prime }(1)$f'(1) est la pente de la tangente en $1$1.

2. 2

   Pente $=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2$=(6-2)/(3-1)=4/2=2.

Rappel de cours : Le nombre dérivé $f^{\prime }(a)$f'(a) se lit comme le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$a.

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1. 1

   Une tangente qui descend a une pente négative, donc $f^{\prime }(a)<0$f'(a)<0.

2. 2

   Un nombre dérivé négatif indique que $f$f est décroissante autour de $a$a.

Rappel de cours : $f^{\prime }(a)>0$f'(a)>0 : croissante ; $f^{\prime }(a)<0$f'(a)<0 : décroissante ; $f^{\prime }(a)=0$f'(a)=0 : tangente horizontale (extremum possible).

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1. 1

   $f(1)=1$f(1)=1 et $f(1+h)=2(1+2h+h^2)-(1+h)=1+3h+2h^2$f(1+h)=2(1+2h+h²)-(1+h)=1+3h+2h².

2. 2

   Taux : $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+2h^2}{h}=3+2h$(f(1+h)-f(1))/h=(3h+2h²)/h=3+2h pour $h\ne 0$h≠ 0.

3. 3

   Quand $h$h tend vers $0$0, $3+2h$3+2h tend vers $3$3.

   $f$f est dérivable en $1$1 et $f^{\prime }(1)=3$f'(1)=3.

Rappel de cours : $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$f'(a)=lim_h→ 0(f(a+h)-f(a))/h quand cette limite existe et est finie.

Erreur fréquente : Simplifier par $h$h avant de faire tendre $h$h vers $0$0 : on ne remplace jamais $h$h par $0$0 dans $\frac{\cdots }{h}$…/h.

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1. 1

   $A$A est sur la courbe : on lit $f(2)=2$f(2)=2.

2. 2

   $f^{\prime }(2)$f'(2) est le coefficient directeur de la tangente en $A$A.

   Elle passe par $A(2;2)$A(2 ;2) et $B(3;4)$B(3 ;4) : $f^{\prime }(2)=\frac{4-2}{3-2}=2$f'(2)=(4-2)/(3-2)=2.

Rappel de cours : Le nombre dérivé $f^{\prime }(a)$f'(a) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$a.

Erreur fréquente : Le point $B$B est sur la tangente, pas sur la courbe : $f(3)\ne 4$f(3)≠ 4.

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1. 1

   $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}$(f(2+h)-f(2))/h=(1/(2+h)-1/2)/h.

2. 2

   $\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\frac{-h}{2(2+h)}$1/(2+h)-1/2=(2-(2+h))/(2(2+h))=(-h)/(2(2+h)).

   En divisant par $h$h : $\frac{-1}{2(2+h)}$(-1)/(2(2+h)).

3. 3

   Quand $h\to 0$h→ 0 : $\frac{-1}{2\times 2}=-\frac{1}{4}$(-1)/(2× 2)=-1/4.

Rappel de cours : On met les fractions au même dénominateur, on simplifie par $h$h, puis $h\to 0$h→ 0. On retrouve ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$(1/x)'=-1/x².

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1. 1

   $\frac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h}=\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}$(√(4+h)- √4)/h=(√(4+h)-2)/h.

   On multiplie par la conjuguée $\sqrt{4+h}+2$√(4+h)+2.

2. 2

   $=\frac{(4+h)-4}{h(\sqrt{4+h}+2)}=\frac{h}{h(\sqrt{4+h}+2)}=\frac{1}{\sqrt{4+h}+2}$=((4+h)-4)/(h(√(4+h)+2))=h/(h(√(4+h)+2))=1/(√(4+h)+2).

3. 3

   Quand $h\to 0$h→ 0 : $\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}$1/( √4 +2)=1/4.

Rappel de cours : Pour une racine, la quantité conjuguée fait disparaître la racine au numérateur. On retrouve ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$( √x )'=1/(2 √x ).

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1. 1

   $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$(f(a+h)-f(a))/h : le numérateur est $(a+h{)}^2-4(a+h)+1-(a^2-4a+1)=2ah+h^2-4h$(a+h)²-4(a+h)+1-(a²-4a+1)=2ah+h²-4h.

2. 2

   Divisé par $h$h : $2a+h-4$2a+h-4.

   Limite quand $h\to 0$h→ 0 : $f^{\prime }(a)=2a-4$f'(a)=2a-4.

3. 3

   Tangente horizontale $⟺f^{\prime }(a)=0⟺2a-4=0⟺a=2$⇔ f'(a)=0 ⇔ 2a-4=0 ⇔ a=2.

Rappel de cours : Tangente horizontale $⟺$⇔ nombre dérivé nul. Ici l'abscisse du sommet de la parabole.

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1. 1

   La vitesse instantanée à l'instant $t$t est $d^{\prime }(t)=2t$d'(t)=2t.

2. 2

   À $t=3$t=3 : $d^{\prime }(3)=2\times 3=6$d'(3)=2× 3=6 m/s.

Rappel de cours : Le nombre dérivé d'une position par rapport au temps est la vitesse instantanée. C'est l'interprétation cinématique de $f^{\prime }(a)$f'(a).

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1. 1

   $f(0)=1$f(0)=1 et $f(h)=\frac{1}{1+h}$f(h)=1/(1+h).

2. 2

   $f(h)-f(0)=\frac{1}{1+h}-1=\frac{1-(1+h)}{1+h}=\frac{-h}{1+h}$f(h)-f(0)=1/(1+h)-1=(1-(1+h))/(1+h)=(-h)/(1+h).

3. 3

   Taux : $\frac{-h}{h(1+h)}=\frac{-1}{1+h}$(-h)/(h(1+h))=(-1)/(1+h), qui tend vers $-1$-1 quand $h\to 0$h→ 0.

Rappel de cours : Avec des fractions, on réduit au même dénominateur pour faire apparaître $h$h en facteur.

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1. 1

   1) $\frac{d(3)-d(2)}{3-2}=44,1-19,6=24,5$(d(3)-d(2))/(3-2)=44,1-19,6=24,5 m/s.

2. 2

   2) $\frac{d(2+h)-d(2)}{h}=\frac{4,9(4+4h+h^2)-19,6}{h}=\frac{19,6h+4,9h^2}{h}=19,6+4,9h$(d(2+h)-d(2))/h=(4,9(4+4h+h²)-19,6)/h=(19,6h+4,9h²)/h=19,6+4,9h.

3. 3

   Quand $h\to 0$h→ 0, la limite vaut $19,6$19,6.

   Donc $d^{\prime }(2)=19,6$d'(2)=19,6 m/s.

Rappel de cours : Vitesse moyenne = taux d'accroissement ; vitesse instantanée = nombre dérivé.

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1. 1

   Pour $h>0$h>0 : $\frac{|0+h|-0}{h}=\frac{h}{h}=1$(|0+h|-0)/h=h/h=1, limite à droite $=1$=1.

2. 2

   Pour $h<0$h<0 : $\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1$|h|/h=(-h)/h=-1, limite à gauche $=-1$=-1.

3. 3

   Les deux limites diffèrent ($1\ne -1$1≠ -1) : $f$f n'est pas dérivable en $0$0 (point anguleux).

Rappel de cours : Dérivabilité en $a$a : le taux doit avoir UNE limite finie (mêmes valeurs à gauche et à droite). Sinon, point anguleux.

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1. 1

   $(a+h{)}^3=a^3+3a^{2}h+3a{h}^2+h^3$(a+h)³=a³+3a²h+3ah²+h³, donc $f(a+h)-f(a)=3a^{2}h+3a{h}^2+h^3$f(a+h)-f(a)=3a²h+3ah²+h³.

2. 2

   Divisé par $h$h : $3a^2+3ah+h^2$3a²+3ah+h².

3. 3

   Quand $h\to 0$h→ 0 : $f^{\prime }(a)=3a^2$f'(a)=3a².

Rappel de cours : On développe $(a+h{)}^3$(a+h)³, on simplifie par $h$h, puis $h\to 0$h→ 0. On retrouve $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$(x³)'=3x².

Correction détaillée

1. 1

   Approximation affine : $f(3+h)\approx f(3)+f^{\prime }(3)h$f(3+h)≈ f(3)+f'(3) h, avec $h=0,01$h=0,01.

2. 2

   $f(3,01)\approx 9+6\times 0,01=9+0,06=9,06$f(3,01)≈ 9+6× 0,01=9+0,06=9,06.

3. 3

   (Valeur exacte : $3,01^2=9,0601$3,01²=9,0601, l'approximation est excellente.)

Rappel de cours : Approximation affine (tangente) : $f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h$f(a+h)≈ f(a)+f'(a) h pour $h$h petit. La tangente « colle » à la courbe près de $a$a.

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1. 1

   Coût marginal : $C^{\prime }(20)=2\times 20+10=50$C'(20)=2× 20+10=50 €.

2. 2

   Interprétation : produire le $21^{\text{e}}$21^(e) objet coûte environ $50$50 € supplémentaires (le coût marginal approche le coût du produit suivant).

Rappel de cours : En économie, le nombre dérivé du coût est le coût marginal : coût approximatif d'une unité supplémentaire.

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1. 1

   Pour $h>0$h>0 : $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$(f(h)-f(0))/h=( √h )/h=1/( √h ).

2. 2

   Quand $h$h tend vers $0$0 par valeurs positives, $\sqrt{h}$√h tend vers $0$0 et $\frac{1}{\sqrt{h}}$1/( √h ) devient aussi grand qu'on veut (par exemple $100$100 pour $h=10^{-4}$h=10⁻⁴) : le taux n'a pas de limite finie.

3. 3

   $f$f n'est donc pas dérivable en $0$0.

4. 4

   Graphiquement, les sécantes deviennent de plus en plus raides : la courbe admet au point $(0;0)$(0 ;0) une tangente verticale.

Rappel de cours : Une fonction peut être définie en un point sans y être dérivable.