Exercices corrigés : Équations du second degré — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   On factorise par $x$x : $x(x-5)=0$x(x-5)=0.

2. 2

   Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : $x=0$x=0 ou $x-5=0$x-5=0, donc $x=0$x=0 ou $x=5$x=5.

Rappel de cours : Pas de terme constant : on factorise par $x$x. Inutile d'utiliser le discriminant ici.

Erreur fréquente : Ne pas « simplifier par $x$x » (cela ferait perdre la solution $x=0$x=0). On factorise.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2=9$x²=9, donc $x=\pm 3$x=± 3.

2. 2

   (On peut aussi factoriser : $x^2-9=(x-3)(x+3)=0$x²-9=(x-3)(x+3)=0.)

Rappel de cours : $x^2=k$x²=k (avec $k>0$k>0) donne $x=\pm \sqrt{k}$x=± √k. Identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$a²-b²=(a-b)(a+b) utile aussi.

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =49-48=1$Δ=49-48=1, $\sqrt{\Delta }=1$√Δ=1.

2. 2

   $x_1=\frac{7-1}{2}=3$x₁=(7-1)/2=3 ; $x_2=\frac{7+1}{2}=4$x₂=(7+1)/2=4.

Rappel de cours : $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$x=(-b±√Δ)/2a. On peut vérifier avec somme $=7$=7, produit $=12$=12.

Correction détaillée

1. 1

   $X^2=5⟺X=\sqrt{5}$X²=5⇔ X=sqrt5 ou $X=-\sqrt{5}$X=-sqrt5, avec $X=x+3$X=x+3.

2. 2

   $x=-3+\sqrt{5}$x=-3+sqrt5 ou $x=-3-\sqrt{5}$x=-3-sqrt5.

Rappel de cours : Inutile de calculer $\Delta$Δ quand l'équation est déjà de la forme $(x-\alpha {)}^2=k$(x-α)²=k.

Correction détaillée

1. 1

   $1^2-4\times 1+3=1-4+3=0$1²-4× 1+3=1-4+3=0 : $1$1 est bien racine.

2. 2

   Produit des racines $=\frac{c}{a}=3$=c/a=3.

   Si une racine est $1$1, l'autre $x_2$x₂ vérifie $1\times x_2=3$1× x₂=3, donc $x_2=3$x₂=3.

Rappel de cours : Une racine évidente (souvent $1$1 ou $-1$-1) + le produit $\frac{c}{a}$c/a donne l'autre racine sans discriminant.

Correction détaillée

1. 1

   Un produit est nul si l'un des facteurs est nul.

2. 2

   $2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$2x-1=0 ⇒ x=1/2 ; $x+4=0\Rightarrow x=-4$x+4=0 ⇒ x=-4.

Rappel de cours : Équation produit $A\times B=0⟺A=0$A× B=0 ⇔ A=0 ou $B=0$B=0. Pas besoin de développer.

Correction détaillée

1. 1

   On ramène tout d'un côté : $x^2-3x=0$x²-3x=0.

2. 2

   Factorisation : $x(x-3)=0$x(x-3)=0, donc $x=0$x=0 ou $x=3$x=3.

Erreur fréquente : Ne pas diviser par $x$x (perte de $x=0$x=0). On passe tout d'un côté puis on factorise.

Correction détaillée

1. 1

   On multiplie par $2$2 (équation équivalente) : $x^2+2x-3=0$x²+2x-3=0.

2. 2

   $\Delta =4+12=16$Δ=4+12=16, $x=\frac{-2-4}{2}=-3$x=(-2-4)/2=-3 ou $x=\frac{-2+4}{2}=1$x=(-2+4)/2=1.

Rappel de cours : Multiplier une équation par un nombre non nul ne change pas ses solutions.

Correction détaillée

1. 1

   $1$1 est racine évidente : $2+3-5=0$2+3-5=0.

2. 2

   Le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}$c/a=-5/2.

   Comme $x_1=1$x₁=1, l'autre racine est $x_2=-\frac{5}{2}$x₂=-5/2.

3. 3

   Vérification : $2\times \frac{25}{4}-\frac{15}{2}-5=12,5-7,5-5=0$2×25/4-15/2-5=12,5-7,5-5=0.

Rappel de cours : Si $a+b+c=0$a+b+c=0, alors $1$1 est racine et l'autre racine vaut $\frac{c}{a}$c/a.

Correction détaillée

1. 1

   On multiplie tout par $2$2 pour enlever la fraction : $x^2-2x-8=0$x²-2x-8=0.

2. 2

   $\Delta =4+32=36$Δ=4+32=36, $\sqrt{\Delta }=6$√Δ=6.

   $x_1=\frac{2-6}{2}=-2$x₁=(2-6)/2=-2 ; $x_2=\frac{2+6}{2}=4$x₂=(2+6)/2=4.

Rappel de cours : Multiplier par le dénominateur (ici $2$2) simplifie les calculs sans changer les solutions.

Correction détaillée

1. 1

   On pose $X=x^2\ge 0$X=x²≥ 0 : $X^2-13X+36=0$X²-13X+36=0.

2. 2

   $\Delta =169-144=25$Δ=169-144=25, $X=\frac{13\pm 5}{2}$X=(13± 5)/2 : $X=9$X=9 ou $X=4$X=4.

3. 3

   $x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$x²=9 ⇒ x=± 3 ; $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$x²=4 ⇒ x=± 2.

Rappel de cours : Bicarrée : poser $X=x^2\ge 0$X=x²≥ 0, résoudre en $X$X, puis revenir à $x$x ($\pm$± pour chaque $X>0$X>0).

Correction détaillée

1. 1

   On multiplie par $(x-2)$(x-2) : $x+1=x(x-2)=x^2-2x$x+1=x(x-2)=x²-2x.

2. 2

   $0=x^2-2x-x-1=x^2-3x-1$0=x²-2x-x-1=x²-3x-1.

   $\Delta =9+4=13$Δ=9+4=13, $x=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$x=3±√(13)/2.

3. 3

   Les deux valeurs sont $\ne 2$≠ 2 : elles conviennent.

Rappel de cours : Équation avec quotient : multiplier par le dénominateur (en notant la valeur interdite), puis résoudre le trinôme.

Erreur fréquente : Toujours vérifier que les solutions respectent la condition $x\ne 2$x≠ 2.

Correction détaillée

1. 1

   Deux nombres de somme $S=10$S=10 et produit $P=21$P=21 sont les racines de $x^2-Sx+P=0$x²-Sx+P=0, soit $x^2-10x+21=0$x²-10x+21=0.

2. 2

   $\Delta =100-84=16$Δ=100-84=16, $x=\frac{10\pm 4}{2}$x=(10± 4)/2 : $x=3$x=3 ou $x=7$x=7.

Rappel de cours : Somme $S$S, produit $P$P : les nombres sont racines de $x^2-Sx+P=0$x²-Sx+P=0.

Correction détaillée

1. 1

   On multiplie par $x\ne 0$x≠ 0 : $x^2+6=5x⟺x^2-5x+6=0$x²+6=5x⇔ x²-5x+6=0.

2. 2

   $\Delta =25-24=1$Δ=25-24=1, $x=\frac{5-1}{2}=2$x=(5-1)/2=2 ou $x=\frac{5+1}{2}=3$x=(5+1)/2=3.

3. 3

   Aucune n'est interdite.

   Vérification : $2+3=5$2+3=5 et $3+2=5$3+2=5.

Rappel de cours : Multiplier par l'expression du dénominateur n'est permis que si elle est non nulle : on note les valeurs interdites d'abord.

Correction détaillée

1. 1

   Avec $n$n personnes, chacune serre $n-1$n-1 mains, mais chaque poignée de main est comptée deux fois (une par personne) : il y en a $\frac{n(n-1)}{2}$(n(n-1))/2.

2. 2

   $\frac{n(n-1)}{2}=45⟺n^2-n-90=0$(n(n-1))/2=45⇔ n²-n-90=0.

3. 3

   $\Delta =1+360=361=19^2$Δ=1+360=361=19², donc $n=\frac{1+19}{2}=10$n=(1+19)/2=10 ou $n=\frac{1-19}{2}=-9$n=(1-19)/2=-9.

4. 4

   $n$n est un entier positif : $n=10$n=10.

Rappel de cours : Modéliser, résoudre, puis ne garder que les solutions qui ont un sens dans le contexte.

Correction détaillée

1. 1

   Soit $x$x la largeur.

   La longueur est $x+3$x+3, l'aire $x(x+3)=40$x(x+3)=40.

2. 2

   $x^2+3x-40=0$x²+3x-40=0.

   $\Delta =9+160=169$Δ=9+160=169, $\sqrt{\Delta }=13$√Δ=13.

   $x=\frac{-3\pm 13}{2}$x=(-3± 13)/2 : $x=5$x=5 ou $x=-8$x=-8.

3. 3

   Une largeur est positive : $x=5$x=5.

   Dimensions : largeur $5$5 cm, longueur $8$8 cm.

Rappel de cours : On pose l'inconnue, on traduit l'énoncé en équation, on résout, puis on garde les solutions ayant un sens (longueur $>0$>0).

Erreur fréquente : Rejeter $x=-8$x=-8 : une longueur négative n'a pas de sens géométrique.

Correction détaillée

1. 1

   Durée à vitesse $v$v : $\frac{60}{v}$60/v.

   Durée à $v+5$v+5 : $\frac{60}{v+5}$60/(v+5).

   La condition : $\frac{60}{v}-\frac{60}{v+5}=1$60/v-60/(v+5)=1.

2. 2

   On multiplie par $v(v+5)$v(v+5) : $60(v+5)-60v=v(v+5)$60(v+5)-60v=v(v+5), soit $300=v^2+5v$300=v²+5v.

3. 3

   $v^2+5v-300=0$v²+5v-300=0.

   $\Delta =25+1200=1225$Δ=25+1200=1225, $\sqrt{\Delta }=35$√Δ=35.

   $v=\frac{-5\pm 35}{2}$v=(-5± 35)/2 : $v=15$v=15 ou $v=-20$v=-20.

4. 4

   Vitesse positive : $v=15$v=15 km/h.

Rappel de cours : Problèmes de vitesse : modéliser les durées par $\frac{d}{v}$d/v, poser l'équation, multiplier par le dénominateur commun.

Correction détaillée

1. 1

   Le grand carré a pour côté $20+2x$20+2x (le cadre s'ajoute des deux côtés).

   Aire : $(20+2x{)}^2=576$(20+2x)²=576.

2. 2

   $20+2x=\sqrt{576}=24$20+2x=√(576)=24 (on garde la racine positive), donc $2x=4$2x=4 et $x=2$x=2.

Rappel de cours : Un cadre de largeur $x$x ajoute $2x$2x à chaque dimension (de part et d'autre). Penser à ce facteur $2$2.

Correction détaillée

1. 1

   Soit $x$x le petit côté ; l'autre est $x+2$x+2.

   Aires : $x^2+(x+2{)}^2=100$x²+(x+2)²=100.

2. 2

   $x^2+x^2+4x+4=100$x²+x²+4x+4=100, soit $2x^2+4x-96=0$2x²+4x-96=0, ou $x^2+2x-48=0$x²+2x-48=0.

3. 3

   $\Delta =4+192=196$Δ=4+192=196, $\sqrt{\Delta }=14$√Δ=14.

   $x=\frac{-2\pm 14}{2}$x=(-2± 14)/2 : $x=6$x=6 ou $x=-8$x=-8.

4. 4

   Côté positif : $x=6$x=6.

   Les côtés sont $6$6 cm et $8$8 cm.

Rappel de cours : Développer $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$(x+2)²=x²+4x+4, regrouper, puis simplifier l'équation (diviser par $2$2) avant le discriminant.

Correction détaillée

1. 1

   1) $x(x-1)=1⟺x^2-x-1=0$x(x-1)=1⇔ x²-x-1=0 ($x\ne 1$x≠ 1).

2. 2

   2) $\Delta =1+4=5$Δ=1+4=5, racines $\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$(1-sqrt5)/2<0 et $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(1+sqrt5)/2.

   Comme $x>1$x>1 : $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$x=(1+sqrt5)/2≈ 1,618.

3. 3

   3) $x^2-x-1=0$x²-x-1=0 s'écrit $x^2=x+1$x²=x+1.

   En divisant par $x\ne 0$x≠ 0 : $x=1+\frac{1}{x}$x=1+1/x, donc $\frac{1}{x}=x-1\approx 0,618$1/x=x-1≈ 0,618.

Rappel de cours : Une équation du second degré peut avoir deux solutions mathématiques dont une seule convient au problème.