Exercices corrigés : Forme canonique — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $\alpha =\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2$α=(-b)/2a=4/2=2 et $\beta =f(2)=4-8+1=-3$β=f(2)=4-8+1=-3.

2. 2

   $f(x)=(x-2{)}^2-3$f(x)=(x-2)²-3.

Rappel de cours : Forme canonique $a(x-\alpha {)}^2+\beta$a(x-α)²+β avec $\alpha =\frac{-b}{2a}$α=(-b)/2a et $\beta =f(\alpha )$β=f(α).

Correction détaillée

1. 1

   Dans $a(x-\alpha {)}^2+\beta$a(x-α)²+β, le sommet est $(\alpha ;\beta )$(α ;β).

2. 2

   Ici $\alpha =3$α=3 et $\beta =5$β=5, donc le sommet est $(3;5)$(3 ;5).

Rappel de cours : La forme canonique donne le sommet directement : $S(\alpha ;\beta )$S(α;β). Attention au signe : $(x-3)$(x-3) donne $\alpha =3$α=3.

Correction détaillée

1. 1

   $a=-1<0$a=-1<0 : la parabole est tournée vers le bas, le sommet est un maximum.

2. 2

   Sommet $(1;4)$(1 ;4) : le maximum de $f$f est $4$4, atteint en $x=1$x=1.

Rappel de cours : $a>0$a>0 : sommet = minimum (parabole vers le haut). $a<0$a<0 : sommet = maximum.

Correction détaillée

1. 1

   La forme canonique est $a(x-\alpha {)}^2+\beta$a(x-α)²+β.

   Ici $x+2=x-(-2)$x+2=x-(-2), donc $\alpha =-2$α=-2 et $\beta =7$β=7.

2. 2

   Sommet $S(-2;7)$S(-2 ;7).

   Comme $a=-3<0$a=-3<0, la parabole est tournée vers le bas : $7$7 est un maximum, atteint en $x=-2$x=-2.

Rappel de cours : $a>0$a>0 : minimum $\beta$β. $a<0$a<0 : maximum $\beta$β.

Erreur fréquente : $(x+2{)}^2$(x+2)² correspond à $\alpha =-2$α=-2, pas à $2$2.

Correction détaillée

1. 1

   $\alpha =\frac{-b}{2a}=\frac{8}{4}=2$α=(-b)/2a=8/4=2 et $\beta =f(2)=2\times 4-16+3=8-16+3=-5$β=f(2)=2× 4-16+3=8-16+3=-5.

2. 2

   $f(x)=2(x-2{)}^2-5$f(x)=2(x-2)²-5.

Rappel de cours : Le coefficient $a$a se conserve : $f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$f(x)=a(x-α)²+β. Vérifier en développant.

Correction détaillée

1. 1

   $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$(x-2)²=x²-4x+4 (identité remarquable).

2. 2

   $(x-2{)}^2-3=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1$(x-2)²-3=x²-4x+4-3=x²-4x+1. ✓

Rappel de cours : $(x-\alpha {)}^2=x^2-2\alpha x+{\alpha }^2$(x-α)²=x²-2α x+α². Développer la forme canonique permet de contrôler son calcul.

Correction détaillée

1. 1

   L'axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$x=α avec $\alpha =\frac{-b}{2a}$α=(-b)/2a.

2. 2

   $\alpha =\frac{-6}{2}=-3$α=(-6)/2=-3, donc l'axe de symétrie est $x=-3$x=-3.

Rappel de cours : L'axe de symétrie de la parabole passe par le sommet : c'est la droite $x=\alpha$x=α.

Correction détaillée

1. 1

   On reconnaît le début de ${\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2=x^2+3x+\frac{9}{4}$(x+3/2)²=x²+3x+9/4.

2. 2

   Donc $x^2+3x={\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}$x²+3x=(x+3/2)²-9/4.

3. 3

   $f(x)={\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}+1={\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}$f(x)=(x+3/2)²-9/4+1=(x+3/2)²-5/4.

Rappel de cours : $x^2+bx={\left(x+\frac{b}{2}\right)}^2-\frac{b^2}{4}$x²+bx=(x+b/2)²-b²/4.

Correction détaillée

1. 1

   On factorise par $a=-1$a=-1 les deux premiers termes : $f(x)=-(x^2-4x)+1$f(x)=-(x²-4x)+1.

2. 2

   $x^2-4x=(x-2{)}^2-4$x²-4x=(x-2)²-4, donc $f(x)=-[(x-2{)}^2-4]+1=-(x-2{)}^2+5$f(x)=-[(x-2)²-4]+1=-(x-2)²+5.

3. 3

   $-(x-2{)}^2\le 0$-(x-2)²≤ 0, donc $f(x)\le 5$f(x)≤ 5, avec égalité pour $x=2$x=2.

Rappel de cours : Quand $a\ne 1$a≠ 1, on factorise d'abord par $a$a les termes en $x^2$x² et en $x$x.

Erreur fréquente : En distribuant le signe moins : $-(-4)=+4$-(-4)=+4, d'où $+5$+5 et non $-3$-3.

Correction détaillée

1. 1

   $(x-2{)}^2-3=0$(x-2)²-3=0, soit $(x-2{)}^2=3$(x-2)²=3.

2. 2

   $x-2=\pm \sqrt{3}$x-2=± √3, donc $x=2-\sqrt{3}$x=2- √3 ou $x=2+\sqrt{3}$x=2+ √3.

Rappel de cours : La forme canonique permet de résoudre sans discriminant : isoler le carré, puis $\pm \sqrt{}$±√( ).

Correction détaillée

1. 1

   Sommet $(-1;-4)$(-1 ;-4), $a=1>0$a=1>0 : minimum en $x=-1$x=-1.

2. 2

   $f$f est décroissante sur $]-\infty ;-1]$]-∞;-1] puis croissante sur $[-1;+\infty [$[-1;+∞[.

3. 3

   Minimum $f(-1)=-4$f(-1)=-4.

Rappel de cours : La forme canonique donne directement le tableau : décroît jusqu'à $\alpha$α, puis croît (si $a>0$a>0).

Correction détaillée

1. 1

   $\alpha =1$α=1, $\beta =f(1)=1-2+5=4$β=f(1)=1-2+5=4, donc $f(x)=(x-1{)}^2+4$f(x)=(x-1)²+4.

2. 2

   $(x-1{)}^2\ge 0$(x-1)²≥ 0, donc $f(x)=(x-1{)}^2+4\ge 4>0$f(x)=(x-1)²+4≥ 4>0.

3. 3

   $f$f est strictement positive sur $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : La forme canonique $(x-\alpha {)}^2+\beta$(x-α)²+β avec $\beta >0$β>0 prouve immédiatement la positivité (somme d'un carré et d'un positif).

Correction détaillée

1. 1

   Sommet $(2;-1)$(2;-1) : $\alpha =2$α=2, $\beta =-1$β=-1, donc $f(x)=a(x-2{)}^2-1$f(x)=a(x-2)²-1.

2. 2

   Passe par $(0;3)$(0;3) : $3=a(0-2{)}^2-1=4a-1$3=a(0-2)²-1=4a-1, donc $4a=4$4a=4 et $a=1$a=1.

3. 3

   $f(x)=(x-2{)}^2-1$f(x)=(x-2)²-1.

Rappel de cours : Le sommet donne $\alpha ,\beta$α,β ; un autre point fournit l'équation permettant de déterminer $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $\alpha =-\frac{-12}{2\times 3}=2$α=-(-12)/(2× 3)=2.

2. 2

   $\beta =f(2)=12-24+7=-5$β=f(2)=12-24+7=-5.

3. 3

   $f(x)=3(x-2{)}^2-5$f(x)=3(x-2)²-5.

   Contrôle : $3(x^2-4x+4)-5=3x^2-12x+7$3(x²-4x+4)-5=3x²-12x+7.

Rappel de cours : Forme canonique : $a(x-\alpha {)}^2+\beta$a(x-α)²+β avec $\alpha =-\frac{b}{2a}$α=-b/2a et $\beta =f(\alpha )=-\frac{\Delta }{4a}$β=f(α)=-Δ/4a.

Correction détaillée

1. 1

   La parabole est symétrique par rapport à la droite $x=2,5$x=2,5 : deux nombres situés à la même distance de $2,5$2,5 ont la même image.

2. 2

   $-1$-1 et $6$6 sont tous deux à $3,5$3,5 de $2,5$2,5 : $f(-1)=f(6)$f(-1)=f(6).

3. 3

   $0$0 est à $2,5$2,5 de l'axe, $4$4 à $1,5$1,5.

   Avec $a>0$a>0, plus on s'éloigne de l'axe, plus l'image est grande : $f(0)>f(4)$f(0)>f(4).

4. 4

   Vérification : $f(0)=2\times 6,25+1=13,5$f(0)=2× 6,25+1=13,5 et $f(4)=2\times 2,25+1=5,5$f(4)=2× 2,25+1=5,5.

Rappel de cours : L'axe de symétrie de la parabole est la droite d'équation $x=\alpha$x=α.

Correction détaillée

1. 1

   $A(x)=x(20-x)=-x^2+20x$A(x)=x(20-x)=-x²+20x.

   $\alpha =\frac{-20}{2\times (-1)}=10$α=(-20)/(2×(-1))=10, $\beta =A(10)=10\times 10=100$β=A(10)=10× 10=100.

2. 2

   Forme canonique : $A(x)=-(x-10{)}^2+100$A(x)=-(x-10)²+100.

3. 3

   $a=-1<0$a=-1<0 : maximum au sommet, $A(10)=100$A(10)=100.

   L'aire maximale est $100{\text{m}}^2$100 m ² (carré de côté $10$10).

Rappel de cours : La forme canonique $-(x-\alpha {)}^2+\beta$-(x-α)²+β montre le maximum $\beta$β en $x=\alpha$x=α : idéal pour l'optimisation.

Correction détaillée

1. 1

   $\alpha =\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2\times (-0,5)}=\frac{-2}{-1}=2$α=(-b)/2a=(-2)/(2×(-0,5))=(-2)/(-1)=2.

2. 2

   $\beta =h(2)=-0,5\times 4+2\times 2+1,5=-2+4+1,5=3,5$β=h(2)=-0,5× 4+2× 2+1,5=-2+4+1,5=3,5.

3. 3

   Hauteur maximale $3,5$3,5 m atteinte à $x=2$x=2 m.

Rappel de cours : Le sommet $(\alpha ;\beta )$(α;β) d'une trajectoire parabolique donne la portée du maximum et sa hauteur.

Correction détaillée

1. 1

   $\alpha =3$α=3, $\beta =f(3)=9-18+11=2$β=f(3)=9-18+11=2, donc $f(x)=(x-3{)}^2+2$f(x)=(x-3)²+2.

2. 2

   $(x-3{)}^2\ge 0$(x-3)²≥ 0, donc $f(x)\ge 2$f(x)≥ 2.

3. 3

   Égalité quand $(x-3{)}^2=0$(x-3)²=0, c'est-à-dire $x=3$x=3.

Rappel de cours : Le minimum $\beta$β de la forme canonique fournit l'inégalité $f(x)\ge \beta$f(x)≥β, avec égalité au sommet.

Correction détaillée

1. 1

   Translation de $3$3 vers la droite : on remplace $x$x par $x-3$x-3.

   Translation de $2$2 vers le bas : on retranche $2$2.

2. 2

   Forme canonique : $g(x)=(x-3{)}^2-2$g(x)=(x-3)²-2.

3. 3

   Développée : $g(x)=x^2-6x+9-2=x^2-6x+7$g(x)=x²-6x+9-2=x²-6x+7.

Rappel de cours : Translation horizontale de $+h$+h : $x\to x-h$x→ x-h. Verticale de $-k$-k : on soustrait $k$k. La forme canonique reflète ces translations.

Correction détaillée

1. 1

   1) $R(p)=p(200-4p)=-4p^2+200p$R(p)=p(200-4p)=-4p²+200p.

2. 2

   2) $R(p)=-4(p^2-50p)=-4[(p-25{)}^2-625]=-4(p-25{)}^2+2500$R(p)=-4(p²-50p)=-4[(p-25)²-625]=-4(p-25)²+2 500.

3. 3

   3) $-4(p-25{)}^2\le 0$-4(p-25)²≤ 0, donc $R(p)\le 2500$R(p)≤ 2 500, avec égalité pour $p=25$p=25.

   Places vendues : $200-100=100$200-100=100.

Rappel de cours : La forme canonique donne directement l'extremum $\beta$β et l'endroit $\alpha$α où il est atteint.

Erreur fréquente : Le prix le plus élevé ne donne pas la meilleure recette : on vend alors trop peu de places.