Exercices corrigés : Discriminant — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $a=1$a=1, $b=3$b=3, $c=-4$c=-4.

2. 2

   $\Delta =b^2-4ac=3^2-4\times 1\times (-4)=9+16=25$Δ=b²-4ac=3²-4× 1×(-4)=9+16=25.

Rappel de cours : $\Delta =b^2-4ac$Δ=b²-4ac. Bien repérer $a$a, $b$b, $c$c avant de calculer.

Correction détaillée

1. 1

   $a=-2$a=-2, $b=4$b=4, $c=-1$c=-1.

2. 2

   $\Delta =4^2-4\times (-2)\times (-1)=16-8=8$Δ=4²-4×(-2)×(-1)=16-8=8.

Erreur fréquente : $-4ac=-4\times (-2)\times (-1)$-4ac=-4×(-2)×(-1) : trois signes $-$- donnent $-8$-8. Surveiller les signes quand $a$a ou $c$c est négatif.

Correction détaillée

1. 1

   $x^2+1$x²+1 : $\Delta =0-4=-4<0$Δ=0-4=-4<0 → aucune racine réelle.

2. 2

   $x^2-6x+9$x²-6x+9 : $\Delta =36-36=0$Δ=36-36=0 → une racine double.

3. 3

   $x^2-x-2$x²-x-2 : $\Delta =1+8=9>0$Δ=1+8=9>0 → deux racines distinctes.

Rappel de cours : $\Delta >0$Δ>0 : 2 racines · $\Delta =0$Δ=0 : 1 racine double · $\Delta <0$Δ<0 : 0 racine réelle.

Correction détaillée

1. 1

   $a=1$a=1, $b=-1$b=-1, $c=\frac{1}{4}$c=1/4.

   $\Delta =1-4\times \frac{1}{4}=0$Δ=1-4×1/4=0.

2. 2

   Racine double : $x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$x₀=-b/2a=1/2. (On reconnaît ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$(x-1/2)².)

Rappel de cours : Si $\Delta =0$Δ=0, le trinôme a une racine double $-\frac{b}{2a}$-b/2a et s'écrit $a(x-x_0{)}^2$a(x-x₀)².

Correction détaillée

1. 1

   $a=2$a=2, $b=-3$b=-3, $c=-2$c=-2.

   $\Delta =9+16=25>0$Δ=9+16=25>0, $\sqrt{\Delta }=5$√Δ=5.

2. 2

   $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}$x₁=(-b-√Δ)/2a=(3-5)/4=-1/2 ; $x_2=\frac{3+5}{4}=2$x₂=(3+5)/4=2.

Rappel de cours : $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$x=(-b±√Δ)/2a. Ici $-b=-(-3)=3$-b=-(-3)=3.

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =(-6{)}^2-4\times 9\times 1=36-36=0$Δ=(-6)²-4× 9× 1=36-36=0.

2. 2

   Racine double : $x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$x₀=(-b)/2a=6/18=1/3.

Rappel de cours : $\Delta =0$Δ=0 : racine unique $x_0=\frac{-b}{2a}$x₀=(-b)/2a, et $a{x}^2+bx+c=a(x-x_0{)}^2$ax²+bx+c=a(x-x₀)².

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =1^2-4\times 1\times 3=1-12=-11<0$Δ=1²-4× 1× 3=1-12=-11<0.

2. 2

   $\Delta <0$Δ<0 : aucune racine réelle, l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : Quand $\Delta <0$Δ<0, le trinôme ne s'annule jamais : il garde le signe de $a$a sur tout $\mathbb{R}$ℝ.

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =(2\sqrt{3}{)}^2-4\times 2=12-8=4$Δ=(2sqrt3)²-4× 2=12-8=4, donc $\sqrt{\Delta }=2$√Δ=2.

2. 2

   $x_1=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$x₁=(2sqrt3-2)/2=sqrt3-1 et $x_2=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=\sqrt{3}+1$x₂=(2sqrt3+2)/2=sqrt3+1.

3. 3

   Contrôle : somme $2\sqrt{3}=-\frac{b}{a}$2sqrt3=-b/a, produit $(\sqrt{3}{)}^2-1=2=\frac{c}{a}$(sqrt3)²-1=2=c/a.

Rappel de cours : Somme des racines $-\frac{b}{a}$-b/a, produit $\frac{c}{a}$c/a : un contrôle rapide des solutions.

Erreur fréquente : $(2\sqrt{3}{)}^2=4\times 3=12$(2sqrt3)²=4× 3=12, et non $2\times 3=6$2× 3=6.

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =16-4=12$Δ=16-4=12 et $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$√(12)=2sqrt3.

2. 2

   $x=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$x=(4± 2sqrt3)/2=2±sqrt3.

Rappel de cours : On simplifie $\sqrt{\Delta }$√Δ, puis on divise chaque terme du numérateur par $2a$2a.

Erreur fréquente : $\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$(4+2sqrt3)/2=2+sqrt3, pas $2+2\sqrt{3}$2+2sqrt3 : on divise les deux termes.

Correction détaillée

1. 1

   Racine double $⟺\Delta =0$⇔Δ=0.

   Ici $\Delta =m^2-4\times 1\times 4=m^2-16$Δ=m²-4× 1× 4=m²-16.

2. 2

   $m^2-16=0⟺m^2=16⟺m=4$m²-16=0 ⇔ m²=16 ⇔ m=4 ou $m=-4$m=-4.

Rappel de cours : « Racine double » se traduit toujours par la condition $\Delta =0$Δ=0.

Correction détaillée

1. 1

   Deux racines distinctes $⟺\Delta >0$⇔Δ>0.

   $\Delta =(-2{)}^2-4m=4-4m$Δ=(-2)²-4m=4-4m.

2. 2

   $4-4m>0⟺4>4m⟺m<1$4-4m>0 ⇔ 4>4m ⇔ m<1.

Rappel de cours : « Deux racines distinctes » $⟺\Delta >0$⇔Δ>0 ; on résout l'inéquation en le paramètre.

Correction détaillée

1. 1

   Aucune racine $⟺\Delta <0$⇔Δ<0.

   $\Delta =2^2-4m=4-4m$Δ=2²-4m=4-4m.

2. 2

   $4-4m<0⟺4<4m⟺m>1$4-4m<0 ⇔ 4<4m ⇔ m>1.

Rappel de cours : $\Delta <0$Δ<0 : pas de racine. Le trinôme garde alors le signe de $a$a (ici $a=1>0$a=1>0, donc toujours positif).

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =1-4=-3<0$Δ=1-4=-3<0 : le trinôme n'a aucune racine, il ne change donc jamais de signe.

2. 2

   Le signe est celui de $a=1>0$a=1>0.

   Donc $x^2+x+1>0$x²+x+1>0 pour tout réel $x$x.

Rappel de cours : Trinôme de $\Delta <0$Δ<0 : signe constant égal à celui de $a$a. Pratique pour prouver une positivité.

Correction détaillée

1. 1

   Un trinôme de racines $-2$-2 et $5$5 s'écrit $f(x)=a(x+2)(x-5)$f(x)=a(x+2)(x-5) avec $a\ne 0$a≠ 0.

2. 2

   $f(0)=a\times 2\times (-5)=-10a=20$f(0)=a× 2×(-5)=-10a=20, donc $a=-2$a=-2.

3. 3

   $f(x)=-2(x+2)(x-5)=-2(x^2-3x-10)=-2x^2+6x+20$f(x)=-2(x+2)(x-5)=-2(x²-3x-10)=-2x²+6x+20.

Rappel de cours : Forme factorisée : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$f(x)=a(x-x₁)(x-x₂). Les racines fixent tout sauf $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =m^2-4\times 1\times (-1)=m^2+4$Δ=m²-4× 1×(-1)=m²+4.

2. 2

   $m^2\ge 0$m²≥ 0, donc $\Delta \ge 4>0$Δ≥ 4>0 : deux racines distinctes, quel que soit $m$m.

3. 3

   Produit des racines : $\frac{c}{a}=-1$c/a=-1.

   Les deux racines sont donc de signes contraires.

Rappel de cours : Si $a$a et $c$c sont de signes contraires, $-4ac>0$-4ac>0 et $\Delta >0$Δ>0 : deux racines de signes opposés.

Correction détaillée

1. 1

   Intersection : $x^2=x+m$x²=x+m, soit $x^2-x-m=0$x²-x-m=0.

   Une seule solution $⟺\Delta =0$⇔Δ=0.

2. 2

   $\Delta =(-1{)}^2-4\times 1\times (-m)=1+4m$Δ=(-1)²-4× 1×(-m)=1+4m.

3. 3

   $1+4m=0⟺m=-\frac{1}{4}$1+4m=0 ⇔ m=-1/4.

Rappel de cours : Droite tangente à une parabole $⟺$⇔ le système se réduit à un trinôme de discriminant nul (point de contact unique).

Correction détaillée

1. 1

   Si $m=0$m=0 : l'équation devient $2x+1=0$2x+1=0, équation du premier degré, une solution $x=-\frac{1}{2}$x=-1/2.

2. 2

   Si $m\ne 0$m≠ 0 : $\Delta =4-4m=4(1-m)$Δ=4-4m=4(1-m).

   $\Delta >0⟺m<1$Δ>0⇔ m<1 : 2 solutions.

   $\Delta =0⟺m=1$Δ=0⇔ m=1 : 1 solution.

   $\Delta <0⟺m>1$Δ<0⇔ m>1 : 0 solution.

3. 3

   Bilan : $m=0$m=0 → 1 sol ; $m<1$m<1 ($m\ne 0$m≠ 0) → 2 sol ; $m=1$m=1 → 1 sol ; $m>1$m>1 → 0 sol.

Rappel de cours : Avant d'utiliser $\Delta$Δ, vérifier que $a\ne 0$a≠ 0 : si le coefficient de $x^2$x² dépend du paramètre, traiter à part le cas où il s'annule.

Erreur fréquente : Oublier le cas $m=0$m=0 (où ce n'est plus du second degré) coûte des points au bac.

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =(-2{)}^2-4\times 2\times (-12)=4+96=100$Δ=(-2)²-4× 2×(-12)=4+96=100, $\sqrt{\Delta }=10$√Δ=10.

2. 2

   $x_1=\frac{2-10}{4}=-2$x₁=(2-10)/4=-2 ; $x_2=\frac{2+10}{4}=3$x₂=(2+10)/4=3.

3. 3

   Forme factorisée : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=2(x+2)(x-3)$f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)=2(x+2)(x-3).

Rappel de cours : Avec deux racines : $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂). Ne pas oublier le coefficient $a$a en facteur.

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =25-24=1>0$Δ=25-24=1>0 : deux racines distinctes.

2. 2

   Somme $S=-\frac{b}{a}=5$S=-b/a=5 ; produit $P=\frac{c}{a}=6$P=c/a=6.

3. 3

   On cherche deux nombres de somme $5$5 et produit $6$6 : ce sont $2$2 et $3$3.

Rappel de cours : Relations racines/coefficients : $S=-\frac{b}{a}$S=-b/a, $P=\frac{c}{a}$P=c/a. Souvent plus rapide que la formule du discriminant.

Correction détaillée

1. 1

   Points communs : $x^2=mx-1⟺x^2-mx+1=0$x²=mx-1⇔ x²-mx+1=0.

   $\Delta =m^2-4$Δ=m²-4.

2. 2

   $\Delta =(m-2)(m+2)$Δ=(m-2)(m+2) : c'est un trinôme en $m$m, positif à l'extérieur de $-2$-2 et $2$2.

3. 3

   Si $-2<m<2$-2<m<2 : $\Delta <0$Δ<0, aucun point commun.

4. 4

   Si $m=2$m=2 ou $m=-2$m=-2 : $\Delta =0$Δ=0, un seul point commun (la droite est tangente à la parabole, en $x=1$x=1 ou $x=-1$x=-1).

5. 5

   Si $m<-2$m<-2 ou $m>2$m>2 : $\Delta >0$Δ>0, deux points communs.

Rappel de cours : Le nombre de points d'intersection est le nombre de solutions de $f(x)=g(x)$f(x)=g(x), donné par le signe de $\Delta$Δ.

Erreur fréquente : $\Delta$Δ dépend de $m$m : on étudie son signe comme celui d'une nouvelle fonction de $m$m.