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Exercices corrigés : Discriminant — Première spécialité

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Discriminant

Niveau: Première spécialité
Chapitre: Discriminant
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

Le discriminant d'un trinôme $a x^{2} + b x + c$ ax²+bx+c ( $a \neq = 0$ a≠ 0) est $Δ = b^{2} - 4 a c$ Δ=b²-4ac. Son signe décide tout : $Δ > 0$ Δ>0 donne deux racines, $Δ = 0$ Δ=0 une racine double, $Δ < 0$ Δ<0 aucune racine réelle. Ces exercices corrigés couvrent le calcul du discriminant, le nombre de racines, la discussion selon un paramètre et le lien avec le signe du trinôme. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Calculer un discriminant

Application directe

Calculer le discriminant de $x^{2} + 3 x - 4$ x²+3x-4.

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Correction détaillée

1
$a = 1$ a=1, $b = 3$ b=3, $c = - 4$ c=-4.
2
$Δ = b^{2} - 4 a c = 3^{2} - 4 \times 1 \times (- 4) = 9 + 16 = 25$ Δ=b²-4ac=3²-4× 1×(-4)=9+16=25.

Réponse :

Δ = 25

Δ=25.

Rappel de cours : $Δ = b^{2} - 4 a c$ Δ=b²-4ac. Bien repérer $a$ a, $b$ b, $c$ c avant de calculer.

Exercice 2 — Discriminant avec a négatif

Application directe

Calculer le discriminant de $- 2 x^{2} + 4 x - 1$ -2x²+4x-1.

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Correction détaillée

1
$a = - 2$ a=-2, $b = 4$ b=4, $c = - 1$ c=-1.
2
$Δ = 4^{2} - 4 \times (- 2) \times (- 1) = 16 - 8 = 8$ Δ=4²-4×(-2)×(-1)=16-8=8.

Réponse :

Δ = 8

Δ=8.

Erreur fréquente : $- 4 a c = - 4 \times (- 2) \times (- 1)$ -4ac=-4×(-2)×(-1) : trois signes $-$ - donnent $- 8$ -8. Surveiller les signes quand $a$ a ou $c$ c est négatif.

Exercice 3 — Nombre de racines

Application directe

Sans les calculer, dire combien de racines ont : $x^{2} + 1$ x²+1 ; $x^{2} - 6 x + 9$ x²-6x+9 ; $x^{2} - x - 2$ x²-x-2.

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Correction détaillée

1
$x^{2} + 1$ x²+1 : $Δ = 0 - 4 = - 4 < 0$ Δ=0-4=-4<0 → aucune racine réelle.
2
$x^{2} - 6 x + 9$ x²-6x+9 : $Δ = 36 - 36 = 0$ Δ=36-36=0 → une racine double.
3
$x^{2} - x - 2$ x²-x-2 : $Δ = 1 + 8 = 9 > 0$ Δ=1+8=9>0 → deux racines distinctes.

Réponse :

0

0 racine ;

1

1 racine double ;

2

2 racines.

Rappel de cours : $Δ > 0$ Δ>0 : 2 racines · $Δ = 0$ Δ=0 : 1 racine double · $Δ < 0$ Δ<0 : 0 racine réelle.

Exercice 4 — Racines avec Δ > 0

À maîtriser

Résoudre $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 2x²-3x-2=0 à l'aide du discriminant.

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Correction détaillée

1
$a = 2$ a=2, $b = - 3$ b=-3, $c = - 2$ c=-2.
$Δ = 9 + 16 = 25 > 0$ Δ=9+16=25>0, $Δ = 5$ √Δ=5.
2
$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} = \frac{3 - 5}{4} = - \frac{1}{2}$ x₁=(-b-√Δ)/2a=(3-5)/4=-1/2 ; $x_{2} = \frac{3 + 5}{4} = 2$ x₂=(3+5)/4=2.

Réponse :

x_{1} = - \frac{1}{2}

x₁=-1/2,

x_{2} = 2

x₂=2.

Rappel de cours : $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ x=(-b±√Δ)/2a. Ici $- b = - (- 3) = 3$ -b=-(-3)=3.

Exercice 5 — Racine double

À maîtriser

Résoudre $9 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 9x²-6x+1=0.

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Correction détaillée

1
$Δ = (- 6)^{2} - 4 \times 9 \times 1 = 36 - 36 = 0$ Δ=(-6)²-4× 9× 1=36-36=0.
2
Racine double : $x_{0} = \frac{- b}{2 a} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ x₀=(-b)/2a=6/18=1/3.

Réponse :

x_{0} = \frac{1}{3}

x₀=1/3 (racine double).

Rappel de cours : $Δ = 0$ Δ=0 : racine unique $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ x₀=(-b)/2a, et $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{0})^{2}$ ax²+bx+c=a(x-x₀)².

Exercice 6 — Pas de racine réelle

À maîtriser

L'équation $x^{2} + x + 3 = 0$ x²+x+3=0 a-t-elle des solutions réelles ?

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Correction détaillée

1
$Δ = 1^{2} - 4 \times 1 \times 3 = 1 - 12 = - 11 < 0$ Δ=1²-4× 1× 3=1-12=-11<0.
2
$Δ < 0$ Δ<0 : aucune racine réelle, l'équation n'a pas de solution dans $R$ ℝ.

Réponse : Non,

S = \emptyset

S=∅ (

Δ = - 11 < 0

Δ=-11<0).

Rappel de cours : Quand $Δ < 0$ Δ<0, le trinôme ne s'annule jamais : il garde le signe de $a$ a sur tout $R$ ℝ.

Exercice 7 — Discriminant nul : trouver un paramètre

Type contrôle

Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ m l'équation $x^{2} + m x + 4 = 0$ x²+mx+4=0 a-t-elle une racine double ?

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Correction détaillée

1
Racine double $⟺ Δ = 0$ ⇔Δ=0.
Ici $Δ = m^{2} - 4 \times 1 \times 4 = m^{2} - 16$ Δ=m²-4× 1× 4=m²-16.
2
$m^{2} - 16 = 0 ⟺ m^{2} = 16 ⟺ m = 4$ m²-16=0 ⇔ m²=16 ⇔ m=4 ou $m = - 4$ m=-4.

Réponse :

m = 4

m=4 ou

m = - 4

m=-4.

Rappel de cours : « Racine double » se traduit toujours par la condition $Δ = 0$ Δ=0.

Exercice 8 — Condition pour deux racines

Type contrôle

Pour quelles valeurs de $m$ m l'équation $x^{2} - 2 x + m = 0$ x²-2x+m=0 a-t-elle deux racines distinctes ?

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Correction détaillée

1
Deux racines distinctes $⟺ Δ > 0$ ⇔Δ>0.
$Δ = (- 2)^{2} - 4 m = 4 - 4 m$ Δ=(-2)²-4m=4-4m.
2
$4 - 4 m > 0 ⟺ 4 > 4 m ⟺ m < 1$ 4-4m>0 ⇔ 4>4m ⇔ m<1.

Réponse :

m < 1

m<1.

Rappel de cours : « Deux racines distinctes » $⟺ Δ > 0$ ⇔Δ>0 ; on résout l'inéquation en le paramètre.

Exercice 9 — Condition pour aucune racine

Type contrôle

Pour quelles valeurs de $m$ m le trinôme $x^{2} + 2 x + m$ x²+2x+m n'a-t-il aucune racine réelle ?

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Correction détaillée

1
Aucune racine $⟺ Δ < 0$ ⇔Δ<0.
$Δ = 2^{2} - 4 m = 4 - 4 m$ Δ=2²-4m=4-4m.
2
$4 - 4 m < 0 ⟺ 4 < 4 m ⟺ m > 1$ 4-4m<0 ⇔ 4<4m ⇔ m>1.

Réponse :

m > 1

m>1.

Rappel de cours : $Δ < 0$ Δ<0 : pas de racine. Le trinôme garde alors le signe de $a$ a (ici $a = 1 > 0$ a=1>0, donc toujours positif).

Exercice 10 — Discriminant et signe du trinôme

Type contrôle

Montrer que $x^{2} + x + 1 > 0$ x²+x+1>0 pour tout réel $x$ x.

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Correction détaillée

1
$Δ = 1 - 4 = - 3 < 0$ Δ=1-4=-3<0 : le trinôme n'a aucune racine, il ne change donc jamais de signe.
2
Le signe est celui de $a = 1 > 0$ a=1>0.
Donc $x^{2} + x + 1 > 0$ x²+x+1>0 pour tout réel $x$ x.

Réponse :

x^{2} + x + 1 > 0

x²+x+1>0 pour tout

x

x (

Δ < 0

Δ<0 et

a > 0

a>0).

Rappel de cours : Trinôme de $Δ < 0$ Δ<0 : signe constant égal à celui de $a$ a. Pratique pour prouver une positivité.

Exercice 11 — Type bac : tangente et discriminant

Type bac / défi

Pour quelle valeur de $m$ m la droite $y = x + m$ y=x+m est-elle tangente à la parabole $y = x^{2}$ y=x² ? (Indication : tangente $\Leftrightarrow$ ⇔ une seule intersection.)

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Correction détaillée

1
Intersection : $x^{2} = x + m$ x²=x+m, soit $x^{2} - x - m = 0$ x²-x-m=0.
Une seule solution $⟺ Δ = 0$ ⇔Δ=0.
2
$Δ = (- 1)^{2} - 4 \times 1 \times (- m) = 1 + 4 m$ Δ=(-1)²-4× 1×(-m)=1+4m.
3
$1 + 4 m = 0 ⟺ m = - \frac{1}{4}$ 1+4m=0 ⇔ m=-1/4.

Réponse :

m = - \frac{1}{4}

m=-1/4.

Rappel de cours : Droite tangente à une parabole $⟺$ ⇔ le système se réduit à un trinôme de discriminant nul (point de contact unique).

Exercice 12 — Type bac : discussion complète

Type bac / défi

Discuter, selon $m$ m, le nombre de solutions de $m x^{2} + 2 x + 1 = 0$ mx²+2x+1=0 (attention au cas $m = 0$ m=0).

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Correction détaillée

1
Si $m = 0$ m=0 : l'équation devient $2 x + 1 = 0$ 2x+1=0, équation du premier degré, une solution $x = - \frac{1}{2}$ x=-1/2.
2
Si $m \neq = 0$ m≠ 0 : $Δ = 4 - 4 m = 4 (1 - m)$ Δ=4-4m=4(1-m).
$Δ > 0 ⟺ m < 1$ Δ>0⇔ m<1 : 2 solutions.
$Δ = 0 ⟺ m = 1$ Δ=0⇔ m=1 : 1 solution.
$Δ < 0 ⟺ m > 1$ Δ<0⇔ m>1 : 0 solution.
3
Bilan : $m = 0$ m=0 → 1 sol ; $m < 1$ m<1 ( $m \neq = 0$ m≠ 0) → 2 sol ; $m = 1$ m=1 → 1 sol ; $m > 1$ m>1 → 0 sol.

Réponse :

m = 0

m=0 : 1 sol ;

0 \neq = m < 1

0≠ m<1 : 2 sol ;

m = 1

m=1 : 1 sol ;

m > 1

m>1 : 0 sol.

Rappel de cours : Avant d'utiliser $Δ$ Δ, vérifier que $a \neq = 0$ a≠ 0 : si le coefficient de $x^{2}$ x² dépend du paramètre, traiter à part le cas où il s'annule.

Erreur fréquente : Oublier le cas $m = 0$ m=0 (où ce n'est plus du second degré) coûte des points au bac.

Exercice 13 — Type bac : forme factorisée

Type bac / défi

Soit $f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 12$ f(x)=2x²-2x-12. 1) Calculer $Δ$ Δ et les racines. 2) En déduire la forme factorisée de $f$ f.

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Correction détaillée

1
$Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 2 \times (- 12) = 4 + 96 = 100$ Δ=(-2)²-4× 2×(-12)=4+96=100, $Δ = 10$ √Δ=10.
2
$x_{1} = \frac{2 - 10}{4} = - 2$ x₁=(2-10)/4=-2 ; $x_{2} = \frac{2 + 10}{4} = 3$ x₂=(2+10)/4=3.
3
Forme factorisée : $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 2 (x + 2) (x - 3)$ f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)=2(x+2)(x-3).

Réponse :

Δ = 100

Δ=100, racines

- 2

-2 et

3

f (x) = 2 (x + 2) (x - 3)

f(x)=2(x+2)(x-3).

Rappel de cours : Avec deux racines : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂). Ne pas oublier le coefficient $a$ a en facteur.

Exercice 14 — Type bac : somme et produit via Δ

Type bac / défi

Soit $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ x²-5x+6=0. 1) Vérifier $Δ > 0$ Δ>0. 2) Sans résoudre, donner la somme et le produit des racines, puis les racines.

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Correction détaillée

1
$Δ = 25 - 24 = 1 > 0$ Δ=25-24=1>0 : deux racines distinctes.
2
Somme $S = - \frac{b}{a} = 5$ S=-b/a=5 ; produit $P = \frac{c}{a} = 6$ P=c/a=6.
3
On cherche deux nombres de somme $5$ 5 et produit $6$ 6 : ce sont $2$ 2 et $3$ 3.

Réponse :

S = 5

S=5,

P = 6

P=6 ; racines

2

2 et

3

Rappel de cours : Relations racines/coefficients : $S = - \frac{b}{a}$ S=-b/a, $P = \frac{c}{a}$ P=c/a. Souvent plus rapide que la formule du discriminant.

Tout sur second degré en première

Forme canonique, discriminant, racines, signe du trinôme et résolution d'inéquations.

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