Fonction exponentielle en Première spé maths

La fonction exponentielle en première spécialité : cours complet

La fonction exponentielle modélise les phénomènes dont la vitesse de variation est proportionnelle à la taille : population, intérêts composés, radioactivité, refroidissement. Elle est entièrement définie par une propriété très simple : elle est égale à sa dérivée.

Définition

Il existe une unique fonction $f$f dérivable sur $\mathbb{R}$ℝ telle que

$$f^{\prime }=f\text{et}f(0)=1$$f' = f et f(0) = 1

C'est la fonction exponentielle, notée $\exp$exp (existence et unicité admises). On pose $\mathrm{e}=\exp (1)\approx 2,718$e = exp(1) ≈ 2,718 et l'on écrit $\exp (x)={\mathrm{e}}^x$exp(x) = e ^(x).

Approximation par la méthode d'Euler

Pour un petit pas $h$h : $f(x+h)\approx f(x)+h{f}^{\prime }(x)=(1+h)f(x)$f(x + h) ≈ f(x) + h f'(x) = (1 + h)f(x). En partant de $f(0)=1$f(0) = 1 :

$${\mathrm{e}}^{nh}\approx (1+h{)}^n$$e ^(nh) ≈ (1 + h)ⁿ

Avec $h=\frac{1}{n}$h = 1/n et $x=1$x = 1, on obtient $\mathrm{e}\approx {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$e ≈ (1 + 1/n)ⁿ : $2,594$2,594 pour $n=10$n = 10, $2,705$2,705 pour $n=100$n = 100, $2,717$2,717 pour $n=1000$n = 1 000.

Propriétés algébriques

Pour tous réels $x$x, $y$y et tout entier $n$n :

$${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y{\mathrm{e}}^{-x}=\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}{\mathrm{e}}^{x-y}=\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y}{\left({\mathrm{e}}^x\right)}^n={\mathrm{e}}^{nx}$$e ^(x + y) = e ^(x) × e ^(y) e ^(-x) = 1/(e ^(x)) e ^(x - y) = (e ^(x))/(e ^(y)) ( e ^(x))ⁿ = e ^(nx)

Démonstration de ${\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{-x}=1$e ^(x) e ^(-x) = 1. La fonction $g(x)={\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{-x}$g(x) = e ^(x) e ^(-x) a pour dérivée ${\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{-x}=0$e ^(x) e ^(-x) - e ^(x) e ^(-x) = 0 : elle est constante, égale à $g(0)=1$g(0) = 1. En particulier, l'exponentielle ne s'annule jamais.

Exemples. $\frac{{\mathrm{e}}^{3x}{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^{2x+1}}={\mathrm{e}}^{-1}$(e ^(3x) e ^(-x))/(e ^(2x + 1)) = e ⁻¹ ; $({\mathrm{e}}^x+1{)}^2={\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1$( e ^(x) + 1)² = e ^(2x) + 2 e ^(x) + 1.

Signe, variations et courbe

• ${\mathrm{e}}^x>0$e ^(x) > 0 pour tout réel $x$x (car ${\mathrm{e}}^x={\left({\mathrm{e}}^{x/2}\right)}^2$e ^(x) = ( e ^(x/2))² et ${\mathrm{e}}^x\ne 0$e ^(x) ≠ 0).
• ${\exp }^{\prime }=\exp >0$exp' = exp > 0 : la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.
• Conséquences : ${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b⟺a=b$e ^(a) = e ^(b) ⇔ a = b et ${\mathrm{e}}^a<{\mathrm{e}}^b⟺a<b$e ^(a) < e ^(b) ⇔ a < b.
• La tangente en $0$0 a pour équation $y=x+1$y = x + 1, et ${\mathrm{e}}^x⩾x+1$e ^(x) ≥ x + 1 pour tout $x$x.

Équations et inéquations

• ${\mathrm{e}}^{2x+1}={\mathrm{e}}^{-x+7}⟺2x+1=-x+7⟺x=2$e ^(2x + 1) = e ^(-x + 7) ⇔ 2x + 1 = -x + 7 ⇔ x = 2.
• ${\mathrm{e}}^{3x-2}⩾1⟺3x-2⩾0⟺x⩾\frac{2}{3}$e ^(3x - 2) ≥ 1 ⇔ 3x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2/3.
• ${\mathrm{e}}^x=-2$e ^(x) = -2 n'a pas de solution.

Fonctions $t\mapsto {\mathrm{e}}^{at}$t ↦ e ^(at)

$${\left({\mathrm{e}}^{at}\right)}^{\prime }=a{\mathrm{e}}^{at}$$( e ^(at))' = a e ^(at)

La fonction est croissante si $a>0$a > 0, décroissante si $a<0$a < 0. Les courbes de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{kt}$t ↦ e ^(kt) et $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-kt}$t ↦ e ^(-kt) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Lien avec les suites géométriques. La suite $u_n={\mathrm{e}}^{na}$uₙ = e ^(na) est géométrique de raison ${\mathrm{e}}^a$e ^(a) : l'exponentielle prolonge en temps continu une évolution à taux constant.

Étudier une fonction qui contient ${\mathrm{e}}^x$e ^(x)

On dérive, puis on factorise par l'exponentielle, strictement positive : le signe de la dérivée vient de l'autre facteur.

Exemple. $f(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x$f(x) = (x - 1) e ^(x) : $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+(x-1){\mathrm{e}}^x=x{\mathrm{e}}^x$f'(x) = e ^(x) + (x - 1) e ^(x) = x e ^(x), du signe de $x$x. $f$f décroît sur $]-\infty ;0]$]-∞ ; 0], croît sur $[0;+\infty [$[0 ; +∞[, avec un minimum $f(0)=-1$f(0) = -1.

Modéliser

Une grandeur $N(t)=N_0{\mathrm{e}}^{at}$N(t) = N₀ e ^(at) vérifie $N^{\prime }(t)=aN(t)$N'(t) = a N(t) : sa vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur.

Décroissance radioactive. $N(t)=1000{\mathrm{e}}^{-0,1t}$N(t) = 1 000 e ^(-0,1t) : $N(10)=1000{\mathrm{e}}^{-1}\approx 368$N(10) = 1 000 e ⁻¹ ≈ 368. À la calculatrice, $N(6)\approx 549$N(6) ≈ 549 et $N(7)\approx 497$N(7) ≈ 497 : la demi-vie est comprise entre $6$6 et $7$7 ans.

Erreurs fréquentes à éviter

• ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^y$e ^(x + y) = e ^(x) + e ^(y) : faux, c'est un produit.
• ${\mathrm{e}}^{2x}=2{\mathrm{e}}^x$e ^(2x) = 2 e ^(x) : faux, ${\mathrm{e}}^{2x}=({\mathrm{e}}^x{)}^2$e ^(2x) = ( e ^(x))².
• Oublier le facteur $a$a : $({\mathrm{e}}^{-3t}{)}^{\prime }=-3{\mathrm{e}}^{-3t}$( e ^(-3t))' = -3 e ^(-3t).
• Chercher le signe de ${\mathrm{e}}^x$e ^(x) : il est toujours strictement positif.

FAQ — La fonction exponentielle en première

Pourquoi la fonction exponentielle est-elle égale à sa dérivée ?

C'est sa définition : on admet qu'il existe une seule fonction dérivable vérifiant $f^{\prime }=f$f' = f et $f(0)=1$f(0) = 1. Toutes ses propriétés en découlent.

Que vaut e ?

$\mathrm{e}=\exp (1)\approx 2,71828$e = exp(1) ≈ 2,718 28. On l'approche par ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$(1 + 1/n)ⁿ quand $n$n est grand.

Comment résoudre e^x = 5 en première ?

Sans le logarithme (vu en terminale), on encadre la solution à la calculatrice : ${\mathrm{e}}^{1,6}\approx 4,95$e ^(1,6) ≈ 4,95 et ${\mathrm{e}}^{1,7}\approx 5,47$e ^(1,7) ≈ 5,47, donc la solution est entre $1,6$1,6 et $1,7$1,7.

Quelle est la différence avec la fonction x ↦ q^x de première générale ?

La fonction $x\mapsto q^x$x ↦ q^(x) prolonge une suite géométrique de raison $q>0$q > 0 ; la fonction exponentielle correspond au cas particulier $q=\mathrm{e}$q = e, celui pour lequel la fonction est égale à sa dérivée.