Exercices corrigés : Second degré — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   On identifie $a=1$a=1, $b=-5$b=-5, $c=6$c=6.

2. 2

   Le discriminant est $\Delta =b^2-4ac=(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1$Δ = b²-4ac = (-5)²-4× 1× 6 = 25-24 = 1.

3. 3

   $\Delta =1>0$Δ = 1 > 0 : le trinôme aura deux racines distinctes.

Rappel de cours : Pour $a{x}^2+bx+c$ax²+bx+c, le discriminant est $\Delta =b^2-4ac$Δ=b²-4ac. Son signe donne le nombre de racines.

Erreur fréquente : Attention au signe : $(-5{)}^2=25$(-5)²=25 (et non $-25$-25). On élève $b$b au carré, donc le résultat est positif.

Correction détaillée

1. 1

   $a=2$a=2, $b=3$b=3, $c=-2$c=-2.

2. 2

   $\Delta =3^2-4\times 2\times (-2)=9+16=25$Δ = 3²-4× 2×(-2) = 9 + 16 = 25.

3. 3

   $\Delta =25>0$Δ = 25 > 0 : il y a deux racines réelles distinctes.

Erreur fréquente : $-4ac=-4\times 2\times (-2)=+16$-4ac = -4× 2×(-2) = +16 : le produit de deux signes $-$- redonne un $+$+. Soigne les signes.

Correction détaillée

1. 1

   On a vu $\Delta =1>0$Δ = 1 > 0, donc deux racines : $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$x=(-b±√(Δ))/2a.

2. 2

   $x_1=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=\frac{5-1}{2}=2$x₁ = (5- √1 )/2 = (5-1)/2 = 2 et $x_2=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=\frac{5+1}{2}=3$x₂ = (5+ √1 )/2 = (5+1)/2 = 3.

Rappel de cours : Si $\Delta >0$Δ>0 : $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$x_1,2=(-b±√(Δ))/2a. Ici $-b=-(-5)=5$-b = -(-5) = 5.

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1. 1

   $f(x)=3x-2x^2-3+2x=-2x^2+5x-3$f(x)=3x-2x²-3+2x=-2x²+5x-3.

2. 2

   $a=-2$a=-2, $b=5$b=5, $c=-3$c=-3.

3. 3

   $\Delta =b^2-4ac=25-4\times (-2)\times (-3)=25-24=1$Δ=b²-4ac=25-4×(-2)×(-3)=25-24=1.

Rappel de cours : $a$a, $b$b, $c$c se lisent sur la forme développée réduite $a{x}^2+bx+c$ax²+bx+c.

Erreur fréquente : $-4ac=-4\times (-2)\times (-3)=-24$-4ac=-4×(-2)×(-3)=-24 : trois signes moins donnent un résultat négatif.

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =(-4{)}^2-4\times 1\times 4=16-16=0$Δ = (-4)²-4× 1× 4 = 16-16 = 0.

2. 2

   Quand $\Delta =0$Δ=0, il y a une racine double : $x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2$x₀ = (-b)/2a = 4/2 = 2.

3. 3

   On reconnaît d'ailleurs l'identité remarquable $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$x²-4x+4=(x-2)².

Rappel de cours : Si $\Delta =0$Δ=0 : une seule racine $x_0=\frac{-b}{2a}$x₀=(-b)/2a, et $a{x}^2+bx+c=a(x-x_0{)}^2$ax²+bx+c=a(x-x₀)².

Correction détaillée

1. 1

   $\Delta =1^2-4\times 1\times 1=1-4=-3$Δ = 1²-4× 1× 1 = 1-4 = -3.

2. 2

   $\Delta <0$Δ < 0 : il n'y a aucune racine réelle, l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : Si $\Delta <0$Δ<0, $a{x}^2+bx+c$ax²+bx+c ne s'annule jamais et garde le signe de $a$a sur $\mathbb{R}$ℝ.

Erreur fréquente : On ne peut pas calculer $\sqrt{\Delta }$√(Δ) quand $\Delta <0$Δ<0 : ne pas inventer de racine, on conclut « pas de solution ».

Correction détaillée

1. 1

   On utilise $\alpha =\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$α = (-b)/2a = 6/2 = 3.

2. 2

   $\beta =f(\alpha )=f(3)=9-18+5=-4$β = f(α) = f(3) = 9-18+5 = -4.

3. 3

   Donc $f(x)=(x-3{)}^2-4$f(x) = (x-3)² - 4. (On peut vérifier : $(x-3{)}^2-4=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5$(x-3)²-4 = x²-6x+9-4 = x²-6x+5.)

Rappel de cours : Forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$f(x)=a(x-α)²+β avec $\alpha =\frac{-b}{2a}$α=(-b)/2a et $\beta =f(\alpha )$β=f(α). $(\alpha ,\beta )$(α,β) est le sommet.

Correction détaillée

1. 1

   Deux nombres de somme $S=7$S=7 et produit $P=12$P=12 sont les racines de $x^2-Sx+P=0$x²-Sx+P=0, soit $x^2-7x+12=0$x²-7x+12=0.

2. 2

   $\Delta =49-48=1$Δ = 49-48 = 1, donc $x=\frac{7\pm 1}{2}$x=(7± 1)/2 : $x_1=3$x₁ = 3 et $x_2=4$x₂ = 4.

3. 3

   Vérification : $3+4=7$3+4=7 et $3\times 4=12$3× 4 = 12. ✓

Rappel de cours : Pour $a{x}^2+bx+c$ax²+bx+c : somme des racines $=-\frac{b}{a}$=-b/a, produit $=\frac{c}{a}$=c/a.

Correction détaillée

1. 1

   $2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$2x²-8 = 2(x²-4) = 2(x-2)(x+2) (identité $a^2-b^2$a²-b²).

2. 2

   $3x^2-12x=3x(x-4)$3x²-12x = 3x(x-4) : on met $3x$3x en facteur commun.

Rappel de cours : Si le trinôme a deux racines $x_1,x_2$x₁,x₂ : $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂). Sinon, chercher un facteur commun ou une identité remarquable.

Correction détaillée

1. 1

   $x_1=\frac{-5-1}{2\times (-2)}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$x₁=(-5-1)/(2×(-2))=(-6)/(-4)=3/2 et $x_2=\frac{-5+1}{-4}=1$x₂=(-5+1)/(-4)=1.

2. 2

   Forme factorisée : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=-2(x-1)\left(x-\frac{3}{2}\right)$f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)=-2(x-1)(x-3/2).

3. 3

   Signe : $f$f a le signe de $a=-2$a=-2 (négatif) à l'extérieur des racines, le signe contraire entre elles.

   $f(x)<0$f(x)<0 sur $]-\infty ;1[\cup \left]\frac{3}{2};+\infty \right[$]-∞ ;1[∪]3/2 ;+∞[, $f(x)>0$f(x)>0 sur $\left]1;\frac{3}{2}\right[$]1 ;3/2[.

Rappel de cours : Un trinôme est du signe de $a$a sauf entre ses racines.

Erreur fréquente : Ne pas oublier le coefficient $a=-2$a=-2 devant la forme factorisée.

Correction détaillée

1. 1

   $a=-1$a=-1, $b=4$b=4, $c=-3$c=-3.

   $\Delta =16-12=4>0$Δ = 16-12 = 4 > 0 : deux racines.

2. 2

   $x=\frac{-4\pm 2}{-2}$x=(-4± 2)/(-2) : $x_1=\frac{-4+2}{-2}=1$x₁ = (-4+2)/(-2) = 1 et $x_2=\frac{-4-2}{-2}=3$x₂ = (-4-2)/(-2) = 3.

3. 3

   Règle du signe : un trinôme est du signe de $a$a à l'extérieur des racines, et du signe de $-a$-a entre les racines.

   Ici $a=-1<0$a=-1<0.

4. 4

   Donc $g(x)<0$g(x)<0 sur $]-\infty ;1[\cup ]3;+\infty [$]-∞;1[∪]3;+∞[, $g(x)>0$g(x)>0 sur $]1;3[$]1;3[, et $g(x)=0$g(x)=0 en $1$1 et $3$3.

Rappel de cours : « Signe de $a$a à l'extérieur des racines, signe de $-a$-a entre les racines. » Quand $\Delta \le 0$Δ≤ 0, le signe est constant (celui de $a$a).

Correction détaillée

1. 1

   Racines de $x^2-x-6$x²-x-6 : $\Delta =1+24=25$Δ = 1+24 = 25, $x=\frac{1\pm 5}{2}$x=(1± 5)/2 donne $x_1=-2$x₁=-2 et $x_2=3$x₂=3.

2. 2

   Ici $a=1>0$a=1>0 : le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

3. 3

   On cherche $\ge 0$≥ 0, donc on prend l'extérieur, bornes incluses : $x\le -2$x≤ -2 ou $x\ge 3$x≥ 3.

Erreur fréquente : $\ge$≥ (large) inclut les racines : on met des crochets fermés en $-2$-2 et $3$3. Avec $>$> (strict), on les exclut.

Correction détaillée

1. 1

   Abscisse du sommet : $\alpha =\frac{-b}{2a}=\frac{8}{4}=2$α = (-b)/2a = 8/4 = 2.

2. 2

   Ordonnée : $\beta =f(2)=2\times 4-16+5=8-16+5=-3$β = f(2) = 2× 4 - 16 + 5 = 8-16+5 = -3.

3. 3

   $a=2>0$a=2>0 : la parabole est « tournée vers le haut », le sommet est un minimum.

Rappel de cours : Sommet en $\alpha =\frac{-b}{2a}$α=(-b)/2a. Si $a>0$a>0 la parabole admet un minimum, si $a<0$a<0 un maximum.

Correction détaillée

1. 1

   Périmètre $=20$=20 donne $2(\text{largeur}+\text{longueur})=20$2( largeur + longueur )=20, donc largeur $+$+ longueur $=10$=10 : la longueur vaut $10-x$10-x.

2. 2

   Aire : $A(x)=x(10-x)=10x-x^2=-x^2+10x$A(x) = x(10-x) = 10x - x² = -x²+10x, pour $x\in ]0;10[$x∈ ]0;10[.

3. 3

   $a=-1<0$a=-1<0 : $A$A admet un maximum au sommet, en $\alpha =\frac{-10}{2\times (-1)}=5$α = (-10)/(2×(-1)) = 5.

4. 4

   $A(5)=5\times 5=25$A(5) = 5× 5 = 25.

   L'aire maximale (un carré de côté 5) vaut $25{\text{cm}}^2$25 cm ².

Rappel de cours : Beaucoup de problèmes d'optimisation se ramènent au sommet d'une parabole : on modélise par un trinôme puis on cherche $\alpha =\frac{-b}{2a}$α=(-b)/2a.

Correction détaillée

1. 1

   On pose $X=x^2$X=x² (avec $X\ge 0$X≥ 0).

   L'équation devient $X^2-5X+4=0$X²-5X+4=0.

2. 2

   $\Delta =25-16=9$Δ = 25-16 = 9, $X=\frac{5\pm 3}{2}$X=(5± 3)/2 : $X=1$X=1 ou $X=4$X=4.

3. 3

   Retour à $x$x : $x^2=1⟺x=\pm 1$x²=1 ⇔ x=± 1 ; $x^2=4⟺x=\pm 2$x²=4 ⇔ x=± 2.

Rappel de cours : Une équation bicarrée $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ax⁴+bx²+c=0 se résout en posant $X=x^2\ge 0$X=x²≥ 0, puis en revenant à $x$x (deux solutions $\pm$± par $X>0$X>0).

Erreur fréquente : Ne garder que les $X\ge 0$X≥ 0 : si on trouvait $X=-1$X=-1, il n'y aurait aucun $x$x réel correspondant.

Correction détaillée

1. 1

   Un point commun vérifie les deux équations : $x^2-3x+1=x-2⟺x^2-4x+3=0$x²-3x+1=x-2⇔ x²-4x+3=0.

2. 2

   $\Delta =16-12=4$Δ=16-12=4, racines $x=\frac{4-2}{2}=1$x=(4-2)/2=1 et $x=\frac{4+2}{2}=3$x=(4+2)/2=3.

3. 3

   Ordonnées avec la droite : pour $x=1$x=1, $y=-1$y=-1 ; pour $x=3$x=3, $y=1$y=1.

Rappel de cours : Intersection de deux courbes : on résout $f(x)=g(x)$f(x)=g(x), puis on calcule les ordonnées.

Correction détaillée

1. 1

   $f(0)=c=3$f(0)=c=3.

2. 2

   $f(1)=a+b+3=0$f(1)=a+b+3=0, donc $a+b=-3$a+b=-3.

   $f(-1)=a-b+3=8$f(-1)=a-b+3=8, donc $a-b=5$a-b=5.

3. 3

   En additionnant : $2a=2$2a=2, $a=1$a=1 ; puis $b=-3-1=-4$b=-3-1=-4.

4. 4

   Vérification : $f(-1)=1+4+3=8$f(-1)=1+4+3=8.

Rappel de cours : Trois conditions déterminent les trois coefficients $a$a, $b$b, $c$c : on obtient un système.

Correction détaillée

1. 1

   Discriminant : $\Delta =(-2{)}^2-4\times 1\times m=4-4m$Δ = (-2)²-4× 1× m = 4-4m.

2. 2

   $\Delta >0⟺4-4m>0⟺m<1$Δ > 0 ⇔ 4-4m>0 ⇔ m<1 : deux solutions distinctes.

3. 3

   $\Delta =0⟺m=1$Δ = 0 ⇔ m=1 : une solution double ($x=1$x=1).

4. 4

   $\Delta <0⟺m>1$Δ < 0 ⇔ m>1 : aucune solution réelle.

Rappel de cours : Le nombre de solutions ne dépend que du signe de $\Delta$Δ. Avec un paramètre, on étudie le signe de $\Delta (m)$Δ(m).

Correction détaillée

1. 1

   $h$h est un trinôme avec $a=-5<0$a=-5<0 : maximum au sommet, en $t=\frac{-20}{2\times (-5)}=2$t = (-20)/(2×(-5)) = 2 s.

2. 2

   $h(2)=-5\times 4+20\times 2=-20+40=20$h(2) = -5× 4 + 20× 2 = -20+40 = 20 : hauteur maximale $20$20 m à $t=2$t=2 s.

3. 3

   Retour au sol : $h(t)=0⟺-5t^2+20t=0⟺-5t(t-4)=0$h(t)=0 ⇔ -5t²+20t=0 ⇔ -5t(t-4)=0, donc $t=0$t=0 (départ) ou $t=4$t=4.

4. 4

   Le ballon retombe à $t=4$t=4 s.

Rappel de cours : Hauteur max = ordonnée du sommet ; retour au sol = résolution de $h(t)=0$h(t)=0 (souvent par factorisation).

Correction détaillée

1. 1

   1) Recette $60q$60q.

   $B(q)=60q-(q^2+20q+300)=-q^2+40q-300$B(q)=60q-(q²+20q+300)=-q²+40q-300.

2. 2

   2) $\Delta =1600-1200=400$Δ=1 600-1 200=400, racines $q=\frac{-40-20}{-2}=30$q=(-40-20)/(-2)=30 et $q=\frac{-40+20}{-2}=10$q=(-40+20)/(-2)=10.

   Avec $a=-1<0$a=-1<0, $B\ge 0$B≥ 0 entre les racines : rentable pour $q\in [10;30]$q∈[10 ;30].

3. 3

   3) Le sommet a pour abscisse $\alpha =-\frac{b}{2a}=20$α=-b/2a=20 (milieu des racines).

   $B(20)=-400+800-300=100$B(20)=-400+800-300=100.

Rappel de cours : Le sommet d'une parabole est à mi-chemin des racines : $\alpha =\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}$α=(x₁+x₂)/2=-b/2a.