Exercices corrigés : Fonctions polynômes du second degré — Première STMG

Correction détaillée

1. 1

   L'orientation se lit sur le signe du coefficient $a$a de $x^2$x² : vers le haut si $a>0$a > 0, vers le bas si $a<0$a < 0.

2. 2

   Pour $f$f, $a=4>0$a = 4 > 0 : vers le haut, et $f(0)=-3$f(0) = -3.

3. 3

   Pour $g$g, $a=-2<0$a = -2 < 0 : vers le bas, et $g(0)=0$g(0) = 0 : la courbe passe par l'origine.

4. 4

   Pour $h$h, le coefficient devant le produit est $a=3>0$a = 3 > 0 : vers le haut.

   $h(0)=3\times (-2)\times 1=-6$h(0) = 3 × (-2) × 1 = -6.

5. 5

   Pour $k$k, on réordonne : $k(x)=-x^2+7$k(x) = -x² + 7, donc $a=-1<0$a = -1 < 0 : vers le bas, et $k(0)=7$k(0) = 7.

Rappel de cours : Dans $a(x-x_1)(x-x_2)$a(x - x₁)(x - x₂), le coefficient $a$a est le nombre devant le produit : il donne l'orientation.

Erreur fréquente : Lire le premier nombre écrit : dans $7-x^2$7 - x², le coefficient de $x^2$x² est $-1$-1, pas $7$7.

Correction détaillée

1. 1

   On remplace $p$p dans l'expression : $R(10)=10\times 60=600$R(10) = 10 × 60 = 600 €, $R(20)=20\times 40=800$R(20) = 20 × 40 = 800 €.

2. 2

   $R(30)=30\times 20=600$R(30) = 30 × 20 = 600 € et $R(40)=40\times 0=0$R(40) = 40 × 0 = 0 €.

3. 3

   On remarque que $R(10)=R(30)$R(10) = R(30) : deux prix différents rapportent la même recette.

4. 4

   Les prix $10$10 et $30$30 sont symétriques par rapport à $20$20.

   On conjecture que la courbe est symétrique par rapport à la droite $p=20$p = 20, et que la recette est maximale pour $p=20$p = 20 €, où elle vaut $800$800 €.

5. 5

   À $40$40 €, la recette est nulle : à ce prix, plus personne n'achète, puisque $80-2\times 40=0$80 - 2 × 40 = 0 article vendu.

Rappel de cours : Deux nombres qui ont la même image par une fonction polynôme de degré 2 sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole.

Correction détaillée

1. 1

   On applique la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

   Le coefficient devant les parenthèses n'est jamais nul.

2. 2

   $f(x)=0⟺x-3=0$f(x) = 0 ⇔ x - 3 = 0 ou $x+2=0$x + 2 = 0, donc les racines sont $3$3 et $-2$-2.

3. 3

   $g(x)=0⟺x=0$g(x) = 0 ⇔ x = 0 ou $x-8=0$x - 8 = 0, donc les racines sont $0$0 et $8$8.

4. 4

   $h(x)=2(x+4)(x+4)$h(x) = 2(x + 4)(x + 4) : les deux facteurs s'annulent en $-4$-4.

   La fonction $h$h n'a qu'une racine, $-4$-4, et sa parabole touche l'axe des abscisses en son sommet.

Erreur fréquente : Garder le signe écrit dans la parenthèse : $x+2$x + 2 s'annule en $-2$-2, pas en $2$2.

Correction détaillée

1. 1

   $C(20)=0,2\times 400+300+500=880$C(20) = 0,2 × 400 + 300 + 500 = 880 € et $C(30)=0,2\times 900+450+500=1130$C(30) = 0,2 × 900 + 450 + 500 = 1 130 €.

2. 2

   Le taux de variation de $C$C entre $20$20 et $30$30 est $$\frac{C(30)-C(20)}{30-20}=\frac{1130-880}{10}=25.$$(C(30) - C(20))/(30 - 20) = (1 130 - 880)/10 = 25.

3. 3

   Interprétation : quand la production passe de $20$20 à $30$30 objets, chaque objet supplémentaire coûte en moyenne $25$25 €.

4. 4

   Graphiquement, $25$25 est le coefficient directeur de la sécante qui relie les points d'abscisses $20$20 et $30$30 de la courbe du coût.

Rappel de cours : Taux de variation de $f$f entre $x_1$x₁ et $x_2$x₂ : $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$(f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁), coefficient directeur de la sécante.

Correction détaillée

1. 1

   Les solutions de $f(x)=k$f(x) = k sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$k.

2. 2

   La courbe coupe l'axe des abscisses en $x=1$x = 1 et $x=7$x = 7 : ce sont les solutions de $f(x)=0$f(x) = 0, ce que confirme la forme factorisée.

3. 3

   La droite horizontale $y=-4$y = -4 coupe la courbe aux points d'abscisses $3$3 et $5$5.

4. 4

   Vérification : $f(3)=0,5\times 2\times (-4)=-4$f(3) = 0,5 × 2 × (-4) = -4 et $f(5)=0,5\times 4\times (-2)=-4$f(5) = 0,5 × 4 × (-2) = -4.

5. 5

   Le point le plus bas est le sommet, d'abscisse $4$4 (milieu de $1$1 et $7$7) : $f(4)=0,5\times 3\times (-3)=-4,5$f(4) = 0,5 × 3 × (-3) = -4,5.

Correction détaillée

1. 1

   Les racines sont $2$2 et $8$8.

   Elles ont la même image, $0$0, donc l'axe de symétrie passe à mi-chemin : $$x=\frac{2+8}{2}=5.$$x = (2 + 8)/2 = 5.

2. 2

   Le sommet a pour abscisse $5$5 et pour ordonnée $f(5)=3\times 3\times (-3)=-27$f(5) = 3 × 3 × (-3) = -27 : c'est le point $S(5;-27)$S(5 ;-27).

3. 3

   Le coefficient $a=3$a = 3 est positif : la parabole est tournée vers le haut, $f$f est décroissante sur $]-\infty ;5]$]-∞ ;5] puis croissante sur $[5;+\infty [$[5 ;+∞[.

4. 4

   Le sommet est donc un minimum : $f$f atteint son minimum $-27$-27 en $x=5$x = 5.

Rappel de cours : L'axe de symétrie passe au milieu de deux points de même ordonnée, en particulier au milieu des racines.

Correction détaillée

1. 1

   On a $f(0)=16$f(0) = 16.

   On résout $f(x)=16$f(x) = 16 : $$x^2-10x+16=16⟺x^2-10x=0⟺x(x-10)=0.$$x² - 10x + 16 = 16 ⇔ x² - 10x = 0 ⇔ x(x - 10) = 0.

2. 2

   Les solutions sont $0$0 et $10$10 : ces deux nombres ont la même image.

   L'axe de symétrie a pour équation $x=\frac{0+10}{2}=5$x = (0 + 10)/2 = 5.

3. 3

   L'ordonnée du sommet est $f(5)=25-50+16=-9$f(5) = 25 - 50 + 16 = -9.

   Le sommet est le point $S(5;-9)$S(5 ;-9).

4. 4

   Comme $a=1>0$a = 1 > 0, c'est un minimum.

   On peut le contrôler : $f(4)=16-40+16=-8$f(4) = 16 - 40 + 16 = -8 et $f(6)=36-60+16=-8$f(6) = 36 - 60 + 16 = -8 sont égaux et plus grands que $-9$-9.

Rappel de cours : Pour $f(x)=a{x}^2+bx+c$f(x) = ax² + bx + c, l'équation $f(x)=c$f(x) = c se ramène à $x(ax+b)=0$x(ax + b) = 0 : elle donne deux nombres de même image.

Erreur fréquente : Chercher le sommet en $x=0$x = 0 parce que $f(0)$f(0) est facile à calculer : $0$0 n'est qu'un des deux points symétriques.

Correction détaillée

1. 1

   $f(2)=4-14+10=0$f(2) = 4 - 14 + 10 = 0 : $2$2 est bien une racine.

2. 2

   On cherche $f(x)=(x-2)(x-s)$f(x) = (x - 2)(x - s).

   En développant, le terme constant vaut $2s$2s ; il doit être égal à $10$10, donc $s=5$s = 5.

3. 3

   Contrôle : $(x-2)(x-5)=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10$(x - 2)(x - 5) = x² - 5x - 2x + 10 = x² - 7x + 10.

4. 4

   L'autre racine est $5$5 : $f(5)=25-35+10=0$f(5) = 25 - 35 + 10 = 0.

Rappel de cours : Un nombre $r$r est racine de $f$f lorsque $f(r)=0$f(r) = 0 : on le vérifie en remplaçant.

Correction détaillée

1. 1

   Les racines sont $1$1 et $6$6.

   Le produit $(x-1)(x-6)$(x - 1)(x - 6) est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

2. 2

   On multiplie ensuite par $-2$-2, qui est négatif : tous les signes s'inversent.

3. 3

   Donc $f(x)<0$f(x) < 0 sur $]-\infty ;1[$]-∞ ;1[ et sur $]6;+\infty [$]6 ;+∞[, $f(x)>0$f(x) > 0 sur $]1;6[$]1 ;6[, et $f(x)=0$f(x) = 0 en $1$1 et en $6$6.

4. 4

   Contrôle : $f(0)=-2\times (-1)\times (-6)=-12<0$f(0) = -2 × (-1) × (-6) = -12 < 0 et $f(2)=-2\times 1\times (-4)=8>0$f(2) = -2 × 1 × (-4) = 8 > 0.

Rappel de cours : $a(x-x_1)(x-x_2)$a(x - x₁)(x - x₂) est du signe de $a$a à l'extérieur des racines, du signe contraire entre elles.

Correction détaillée

1. 1

   On reconnaît une différence de deux carrés : $9x^2=(3x{)}^2$9x² = (3x)² et $49=7^2$49 = 7².

2. 2

   D'après l'identité $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$A² - B² = (A - B)(A + B), on a $9x^2-49=(3x-7)(3x+7)$9x² - 49 = (3x - 7)(3x + 7).

3. 3

   Par la règle du produit nul : $3x-7=0$3x - 7 = 0 donne $x=\frac{7}{3}$x = 7/3, et $3x+7=0$3x + 7 = 0 donne $x=-\frac{7}{3}$x = -7/3.

4. 4

   Contrôle : $9\times \frac{49}{9}-49=49-49=0$9 × 49/9 - 49 = 49 - 49 = 0.

Erreur fréquente : Écrire $x^2=49$x² = 49 en oubliant le coefficient $9$9 : les solutions seraient alors $\pm 7$± 7, ce qui est faux.

Correction détaillée

1. 1

   Les racines étant $-2$-2 et $4$4, la fonction s'écrit $f(x)=a(x+2)(x-4)$f(x) = a(x + 2)(x - 4).

2. 2

   Le point $(0;-16)$(0 ;-16) appartient à la courbe, donc $f(0)=-16$f(0) = -16 : $a\times 2\times (-4)=-16$a × 2 × (-4) = -16, soit $-8a=-16$-8a = -16 et $a=2$a = 2.

3. 3

   Ainsi $f(x)=2(x+2)(x-4)$f(x) = 2(x + 2)(x - 4).

   L'axe de symétrie passe au milieu des racines, en $x=\frac{-2+4}{2}=1$x = (-2 + 4)/2 = 1.

4. 4

   Le sommet a pour ordonnée $f(1)=2\times 3\times (-3)=-18$f(1) = 2 × 3 × (-3) = -18 : c'est le point $(1;-18)$(1 ;-18), un minimum puisque $a=2>0$a = 2 > 0.

Correction détaillée

1. 1

   $B(0)=-2000$B(0) = -2 000 : sans aucune vente, l'entreprise perd $2000$2 000 €, ses charges fixes du mois.

2. 2

   On résout $B(q)=-2000$B(q) = -2 000 : $-4q^2+240q=0$-4q² + 240q = 0, soit $-4q(q-60)=0$-4q(q - 60) = 0, donc $q=0$q = 0 ou $q=60$q = 60.

3. 3

   L'axe de symétrie passe au milieu : $q=\frac{0+60}{2}=30$q = (0 + 60)/2 = 30.

4. 4

   Le coefficient de $q^2$q² est $-4<0$-4 < 0 : la parabole est tournée vers le bas et le sommet est un maximum.

5. 5

   $B(30)=-4\times 900+7200-2000=1600$B(30) = -4 × 900 + 7 200 - 2 000 = 1 600 €.

Correction détaillée

1. 1

   On développe : $(q-10)(q-50)=q^2-60q+500$(q - 10)(q - 50) = q² - 60q + 500, donc $-4(q-10)(q-50)=-4q^2+240q-2000=B(q)$-4(q - 10)(q - 50) = -4q² + 240q - 2 000 = B(q).

2. 2

   L'entreprise est rentable quand $B(q)⩾0$B(q) ≥ 0.

   Les racines sont $10$10 et $50$50, et $a=-4<0$a = -4 < 0 : $B(q)$B(q) est positif entre les racines.

3. 3

   Elle est donc rentable pour une quantité comprise entre $10$10 et $50$50 produits.

4. 4

   On retrouve que l'axe de symétrie, $q=30$q = 30, est au milieu de $10$10 et de $50$50.

Rappel de cours : Les racines du bénéfice sont les seuils de rentabilité ; entre elles, le bénéfice a le signe contraire de $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   On ramène tout dans le premier membre : $x^2+2x-8⩽0$x² + 2x - 8 ≤ 0.

2. 2

   On cherche une racine évidente : pour $x=2$x = 2, $4+4-8=0$4 + 4 - 8 = 0.

   Le produit des racines vaut $-8$-8, donc l'autre racine est $-4$-4 : $x^2+2x-8=(x-2)(x+4)$x² + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4).

3. 3

   Avec $a=1>0$a = 1 > 0, le produit est négatif ou nul entre les racines, bornes comprises.

4. 4

   L'ensemble des solutions est $[-4;2]$[-4 ;2].

   Contrôle : pour $x=0$x = 0, $0⩽8$0 ≤ 8 est vrai ; pour $x=3$x = 3, $15⩽8$15 ≤ 8 est faux.

Erreur fréquente : Chercher à « isoler $x$x » comme dans une inéquation du premier degré : avec un $x^2$x², il faut factoriser et étudier le signe.

Correction détaillée

1. 1

   La recette est le prix multiplié par le nombre de places : $R(p)=p(500-20p)=-20p(p-25)$R(p) = p(500 - 20p) = -20p(p - 25).

2. 2

   Les racines sont $0$0 et $25$25 ; l'axe de symétrie passe au milieu, en $p=12,5$p = 12,5.

3. 3

   Comme $a=-20<0$a = -20 < 0, c'est un maximum : $R(12,5)=12,5\times (500-250)=12,5\times 250=3125$R(12,5) = 12,5 × (500 - 250) = 12,5 × 250 = 3 125 €.

4. 4

   Le prix optimal est $12,50$12,50 € ; le cinéma vend alors $250$250 places, pour une recette de $3125$3 125 €.

Correction détaillée

1. 1

   On étudie le signe de la différence : $f(x)<g(x)⟺x^2-6x+8<0$f(x) < g(x) ⇔ x² - 6x + 8 < 0.

2. 2

   $2$2 est une racine évidente ($4-12+8=0$4 - 12 + 8 = 0), et l'autre vaut $\frac{8}{2}=4$8/2 = 4 : $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$x² - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4).

3. 3

   Le produit est strictement négatif entre les racines, racines exclues : $x\in ]2;4[$x ∈ ]2 ;4[.

4. 4

   Le prestataire A est moins cher pour une durée comprise strictement entre $2$2 et $4$4 heures ; à $2$2 h et à $4$4 h, les deux tarifs sont égaux.

   Contrôle pour $3$3 h : $f(3)=17$f(3) = 17 et $g(3)=18$g(3) = 18.

Correction détaillée

1. 1

   La recette est $120q$120q, donc $B(q)=120q-(2q^2+20q+800)=-2q^2+100q-800$B(q) = 120q - (2q² + 20q + 800) = -2q² + 100q - 800.

2. 2

   En développant : $-2(q-10)(q-40)=-2(q^2-50q+400)=-2q^2+100q-800$-2(q - 10)(q - 40) = -2(q² - 50q + 400) = -2q² + 100q - 800.

   Les deux écritures sont égales.

3. 3

   Les racines sont $10$10 et $40$40, et $a=-2<0$a = -2 < 0 : le bénéfice est positif entre les racines.

   L'entreprise est rentable pour une production comprise entre $10$10 et $40$40 articles.

4. 4

   L'axe de symétrie passe en $q=\frac{10+40}{2}=25$q = (10 + 40)/2 = 25, et c'est un maximum : $B(25)=-2\times 15\times (-15)=450$B(25) = -2 × 15 × (-15) = 450 €.

5. 5

   Lecture de gestion : en dessous de $10$10 articles, les charges fixes ne sont pas couvertes ; au-delà de $40$40, le coût de production grimpe plus vite que la recette.

Rappel de cours : Bénéfice = recette − coût. Sous forme factorisée, on lit les seuils de rentabilité, puis le maximum au milieu.

Correction détaillée

1. 1

   Avec la bordure, les dimensions deviennent $20+2x$20 + 2x et $30+2x$30 + 2x.

   On écrit l'aire : $(20+2x)(30+2x)=1200$(20 + 2x)(30 + 2x) = 1 200.

2. 2

   En développant : $600+40x+60x+4x^2=1200$600 + 40x + 60x + 4x² = 1 200, soit $4x^2+100x-600=0$4x² + 100x - 600 = 0.

   On divise par $4$4 : $x^2+25x-150=0$x² + 25x - 150 = 0.

3. 3

   Pour $x=5$x = 5 : $25+125-150=0$25 + 125 - 150 = 0.

   Le produit des racines vaut $-150$-150, donc l'autre est $-30$-30 : $x^2+25x-150=(x-5)(x+30)$x² + 25x - 150 = (x - 5)(x + 30).

4. 4

   Une largeur est positive, donc $x=5$x = 5 : la bordure mesure $5$5 cm.

   Contrôle : $30\times 40=1200$30 × 40 = 1 200 cm².

Erreur fréquente : Ajouter $x$x au lieu de $2x$2x à chaque dimension : la bordure est présente des deux côtés.

Correction détaillée

1. 1

   Le prix devient $50-x$50 - x et le nombre d'abonnés $300+10x$300 + 10x.

   La recette est leur produit : $R(x)=(50-x)(300+10x)$R(x) = (50 - x)(300 + 10x).

2. 2

   On met $10$10 en facteur : $300+10x=10(x+30)$300 + 10x = 10(x + 30), donc $R(x)=10(50-x)(x+30)=-10(x-50)(x+30)$R(x) = 10(50 - x)(x + 30) = -10(x - 50)(x + 30).

3. 3

   Les racines sont $50$50 et $-30$-30 ; l'axe de symétrie passe au milieu : $x=\frac{-30+50}{2}=10$x = (-30 + 50)/2 = 10.

   Comme $a=-10<0$a = -10 < 0, c'est un maximum.

4. 4

   $R(10)=40\times 400=16000$R(10) = 40 × 400 = 16 000 €, contre $R(0)=50\times 300=15000$R(0) = 50 × 300 = 15 000 € aujourd'hui.

5. 5

   Baisser le prix de $10$10 €, à $40$40 €, ferait gagner $1000$1 000 € de recette par mois, grâce à $100$100 abonnés de plus.

Rappel de cours : Recette = prix × quantité vendue. Quand les deux dépendent de $x$x, la recette est un polynôme de degré 2.

Correction détaillée

1. 1

   Le point le plus haut de la courbe se lit en $t=7$t = 7, pour environ $18$18 centaines d'unités.

2. 2

   Les racines sont $1$1 et $13$13 ; l'axe passe en $t=7$t = 7 et $a=-0,5<0$a = -0,5 < 0 : $V(7)=-0,5\times 6\times (-6)=18$V(7) = -0,5 × 6 × (-6) = 18.

   Le maximum est de $1800$1 800 unités, la semaine $7$7.

3. 3

   On résout $V(t)⩾10$V(t) ≥ 10.

   En développant, $V(t)=-0,5(t^2-14t+13)$V(t) = -0,5(t² - 14t + 13) ; on divise par $-0,5$-0,5, ce qui change le sens : $t^2-14t+13⩽-20$t² - 14t + 13 ≤ -20, soit $t^2-14t+33⩽0$t² - 14t + 33 ≤ 0.

4. 4

   $3$3 est racine ($9-42+33=0$9 - 42 + 33 = 0) et l'autre vaut $\frac{33}{3}=11$33/3 = 11 : $(t-3)(t-11)⩽0$(t - 3)(t - 11) ≤ 0, donc $t\in [3;11]$t ∈ [3 ;11].

5. 5

   Les ventes atteignent au moins $1000$1 000 unités de la semaine $3$3 à la semaine $11$11.

   Contrôle : $V(3)=-0,5\times 2\times (-10)=10$V(3) = -0,5 × 2 × (-10) = 10.