Fonctions polynômes du second degré Première STMG — cours et fiche

Q: Faut-il connaître la formule du sommet ou le discriminant ?

Non. En Première STMG, aucune formule n'est attendue : on trouve l'axe de symétrie au milieu de deux nombres de même image (les racines, ou les solutions de f(x) = c), et le discriminant n'est pas au programme.

Q: Comment savoir si le sommet est un maximum ou un minimum ?

Par le signe de a : maximum si a 0.

Une fonction polynôme du second degré s'écrit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ f(x)=ax²+bx+c avec $a \neq = 0$ a≠ 0, et sa courbe est une parabole. En gestion, c'est le modèle typique d'une recette ou d'un bénéfice qui augmente puis diminue : produire trop finit par coûter plus que cela ne rapporte.

Au programme de Première STMG : reconnaître l'allure de la parabole selon le signe de $a$ a, pour les écritures $a x^{2}$ ax², $a x^{2} + c$ ax²+c et $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ a(x-x₁)(x-x₂) ; trouver l'axe de symétrie et le sommet sans formule, au milieu des racines ou en résolvant $f (x) = c$ f(x)=c ; lire les racines et étudier le signe d'une forme factorisée ; vérifier qu'un nombre est racine et factoriser dans les cas simples ; calculer un taux de variation, pente de la sécante. Le discriminant n'est pas au programme.

Méthode type : écrire le modèle sous forme factorisée, lire les seuils de rentabilité (les racines), placer l'axe au milieu, calculer l'extremum, puis résoudre une inéquation par un tableau de signes. Piège classique : prendre une racine pour le sommet.

Fonctions polynômes du second degré en Première STMG : cours complet

Une fonction polynôme du second degré s'écrit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ f(x) = ax² + bx + c, avec $a \neq = 0$ a ≠ 0. Sa courbe est une parabole. En Première STMG, on étudie son allure, son axe de symétrie, son sommet, ses racines et son signe, sans aucune formule à apprendre : tout se déduit de la symétrie et de la forme factorisée.

Trois écritures à reconnaître

Écriture	Exemple	Ce qu'elle montre
$a x^{2}$ ax²	$f (x) = 2 x^{2}$ f(x) = 2x²	sommet à l'origine
$a x^{2} + c$ ax² + c	$f (x) = - 3 x^{2} + 12$ f(x) = -3x² + 12	sommet $(0; c)$ (0 ; c), symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ a(x - x₁)(x - x₂)	$f (x) = 2 (x - 1) (x - 7)$ f(x) = 2(x - 1)(x - 7)	racines $x_{1}$ x₁ et $x_{2}$ x₂

Allure de la parabole

Si $a > 0$ a > 0, la parabole est tournée vers le haut : la fonction est décroissante puis croissante, son sommet est un minimum.
Si $a < 0$ a < 0, la parabole est tournée vers le bas : la fonction est croissante puis décroissante, son sommet est un maximum.

Attention à l'écriture : dans $f (x) = 7 - x^{2}$ f(x) = 7 - x², le coefficient de $x^{2}$ x² est $a = - 1$ a = -1.

Taux de variation

Le taux de variation de $f$ f entre deux nombres $x_{1}$ x₁ et $x_{2}$ x₂ est

$\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁)$

C'est le coefficient directeur de la sécante qui passe par les points de la courbe d'abscisses $x_{1}$ x₁ et $x_{2}$ x₂. S'il est positif, $f (x_{2}) > f (x_{1})$ f(x₂) > f(x₁) ; s'il est négatif, $f (x_{2}) < f (x_{1})$ f(x₂) < f(x₁).

Exemple : pour un coût $C (q) = 0, 2 q^{2} + 15 q + 500$ C(q) = 0,2q² + 15q + 500, $C (20) = 880$ C(20) = 880 et $C (30) = 1130$ C(30) = 1130, donc le taux de variation vaut $\frac{1130 - 880}{10} = 25$ (1130 - 880)/10 = 25 : entre $20$ 20 et $30$ 30 objets, chaque objet supplémentaire coûte en moyenne $25$ 25 €.

Axe de symétrie et sommet, sans formule

La parabole est symétrique par rapport à une droite verticale, son axe. Deux nombres qui ont la même image sont symétriques par rapport à cet axe :

$f (x_{1}) = f (x_{2}) ⟹ axe : x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2} f(x₁) = f(x₂) \Rightarrow axe : x = (x₁ + x₂)/2$

Pour trouver deux nombres de même image :

avec une forme factorisée, on prend les deux racines ;
avec $a x^{2} + b x + c$ ax² + bx + c, on résout $f (x) = c$ f(x) = c, qui se ramène à $x (a x + b) = 0$ x(ax + b) = 0.

Le sommet a pour abscisse celle de l'axe, et pour ordonnée son image.

Exemple 1

$f (x) = 2 (x - 1) (x - 7)$ f(x) = 2(x - 1)(x - 7) : racines $1$ 1 et $7$ 7, axe $x = 4$ x = 4, sommet $(4; f (4)) = (4; - 18)$ (4 ; f(4)) = (4 ; -18). Comme $a = 2 > 0$ a = 2 > 0, c'est un minimum.

Exemple 2

$f (x) = - x^{2} + 8 x - 7$ f(x) = -x² + 8x - 7 : $f (0) = - 7$ f(0) = -7, et $f (x) = - 7 ⟺ x (- x + 8) = 0 ⟺ x = 0$ f(x) = -7 ⇔ x(-x + 8) = 0 ⇔ x = 0 ou $x = 8$ x = 8. L'axe est $x = 4$ x = 4 et $f (4) = 9$ f(4) = 9. Comme $a = - 1 < 0$ a = -1 < 0, $9$ 9 est le maximum.

$x$ x	$- \infty$ -∞		$4$ 4		$+ \infty$ +∞
$f (x)$ f(x)		↗	$9$ 9	↘

Racines et forme factorisée

Une racine de $f$ f est un nombre $r$ r tel que $f (r) = 0$ f(r) = 0 : c'est l'abscisse d'un point où la courbe coupe l'axe des abscisses.

Sur une forme factorisée, on lit les racines grâce à la règle du produit nul :

$a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0 ⟺ x = x_{1} ou x = x_{2} a(x - x₁)(x - x₂) = 0 \Leftrightarrow x = x₁ ou x = x₂$

Attention aux signes : $x + 3$ x + 3 s'annule en $- 3$ -3.

Vérifier qu'un nombre est racine

On remplace : pour $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ f(x) = x² - 5x + 6, $f (2) = 4 - 10 + 6 = 0$ f(2) = 4 - 10 + 6 = 0, donc $2$ 2 est une racine.

Factoriser dans les cas simples

Situation	Factorisation
pas de terme constant	$a x^{2} + b x = x (a x + b)$ ax² + bx = x(ax + b)
différence de deux carrés	$x^{2} - k^{2} = (x - k) (x + k)$ x² - k² = (x - k)(x + k)
une racine $r$ r de $x^{2} + b x + c$ x² + bx + c est connue	$(x - r) (x - s)$ (x - r)(x - s), avec $r \times s = c$ r × s = c

Exemple : $x^{2} - x - 6$ x² - x - 6 admet la racine $3$ 3 ; le produit des racines vaut $- 6$ -6, donc l'autre est $- 2$ -2, et $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2). On contrôle toujours en développant.

Quand aucune racine n'est évidente, on peut en chercher une valeur approchée par balayage (tableau de valeurs, programme) ou avec un solveur.

Signe d'une forme factorisée

Le signe de $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ a(x - x₁)(x - x₂), avec $x_{1} < x_{2}$ x₁ < x₂, se lit dans un tableau de signes :

$x$ x	$- \infty$ -∞		$x_{1}$ x₁		$x_{2}$ x₂		$+ \infty$ +∞
$(x - x_{1}) (x - x_{2})$ (x - x₁)(x - x₂)		$+$ +	$0$ 0	$-$ -	$0$ 0	$+$ +

À retenir : le polynôme est du signe de $a$ a à l'extérieur des racines, du signe contraire entre elles.

Résoudre une inéquation

Tout ramener dans un membre : $f (x) ⩽ k ⟺ f (x) - k ⩽ 0$ f(x) ≤ k ⇔ f(x) - k ≤ 0.
Factoriser.
Dresser le tableau de signes et lire les intervalles.

Exemple : $x^{2} + 2 x ⩽ 8 ⟺ x^{2} + 2 x - 8 ⩽ 0 ⟺ (x - 2) (x + 4) ⩽ 0$ x² + 2x ≤ 8 ⇔ x² + 2x - 8 ≤ 0 ⇔ (x - 2)(x + 4) ≤ 0, donc $x \in [- 4; 2]$ x ∈ [-4 ; 2].

On peut aussi résoudre graphiquement : les solutions de $f (x) < k$ f(x) < k sont les abscisses des points de la courbe situés sous la droite d'équation $y = k$ y = k.

Application : bénéfice et zone de rentabilité

Une entreprise vend chaque article $120$ 120 € et produire $q$ q articles coûte $C (q) = 2 q^{2} + 20 q + 800$ C(q) = 2q² + 20q + 800 €. Son bénéfice est

$B (q) = 120 q - C (q) = - 2 q^{2} + 100 q - 800 = - 2 (q - 10) (q - 40) B(q) = 120q - C(q) = -2q² + 100q - 800 = -2(q - 10)(q - 40)$

Seuils de rentabilité : les racines, $10$ 10 et $40$ 40 articles.
Zone de rentabilité : $a = - 2 < 0$ a = -2 < 0, donc $B (q) ⩾ 0$ B(q) ≥ 0 entre les racines, pour $q \in [10; 40]$ q ∈ [10 ; 40].
Bénéfice maximal : au milieu des racines, $q = 25$ q = 25, avec $B (25) = - 2 \times 15 \times (- 15) = 450$ B(25) = -2 × 15 × (-15) = 450 €.

Erreurs fréquentes à éviter

Prendre une racine pour le sommet : le maximum est au milieu des racines, pas sur l'une d'elles.
Se tromper de signe : les racines de $2 (x + 3) (x - 4)$ 2(x + 3)(x - 4) sont $- 3$ -3 et $4$ 4.
Diviser par $x$ x dans une inéquation : on ne connaît pas son signe ; on factorise.
Oublier de changer le sens d'une inégalité quand on la divise par un nombre négatif.
Utiliser un modèle hors de son domaine : une quantité ou un prix restent positifs.

FAQ — Second degré en Première STMG

Faut-il connaître la formule du sommet ou le discriminant ?

Non. En Première STMG, aucune formule n'est attendue : on trouve l'axe de symétrie au milieu de deux nombres de même image (les racines, ou les solutions de $f (x) = c$ f(x) = c), et le discriminant n'est pas au programme.

Comment savoir si le sommet est un maximum ou un minimum ?

Par le signe de $a$ a : maximum si $a < 0$ a < 0 (parabole tournée vers le bas), minimum si $a > 0$ a > 0.

Comment trouver un seuil de rentabilité ?

On écrit le bénéfice sous forme factorisée : ses racines sont les quantités pour lesquelles le bénéfice est nul, et la zone de rentabilité se lit dans le tableau de signes.

À quoi sert le taux de variation ?

À mesurer la variation moyenne d'une grandeur entre deux valeurs : par exemple, le coût moyen de chaque objet supplémentaire entre deux niveaux de production.

Fonctions polynômes du second degré en Première STMG

Cours et fiche

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Paraboles : allure, images et taux de variation

Plaquette 2 – Axe de symétrie, sommet et variations

Plaquette 3 – Racines et forme factorisée

Plaquette 4 – Signe d'une forme factorisée et inéquations

Plaquette 5 – Modéliser une situation économique

Leçon complète