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Exercices corrigés : Séries statistiques à deux variables — Première STMG

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Séries statistiques à deux variables

Niveau: Première STMG
Chapitre: Séries statistiques à deux variables
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Mis à jour le 11 octobre 2026

Les ventes de boissons suivent-elles la température ? Le prix d'une voiture d'occasion baisse-t-il régulièrement avec son kilométrage ? Une série statistique à deux variables répond à ce genre de question : on place les données dans un nuage de points, on calcule le point moyen, puis, si le nuage est presque aligné, on le résume par une droite d'ajustement. Ces 20 exercices installent d'abord le nuage et le point moyen, puis les trois ajustements du programme (au jugé, droite de Mayer, moindres carrés à la calculatrice), et finissent par des décisions de gestion : estimer, fixer un seuil, et savoir quand une prévision n'a plus de sens.

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Exercice 1 — Calculer un point moyen

Application directe

Un kiosque de plage a relevé, sur six journées, la température maximale $x$ x (en °C) et le nombre $y$ y de boissons fraîches vendues :

1.Températures : $18$ 18, $20$ 20, $22$ 22, $24$ 24, $26$ 26, $28$ 28 ; ventes : $120$ 120, $134$ 134, $148$ 148, $165$ 165, $178$ 178, $194$ 194. Calcule les coordonnées du point moyen $G$ G.
2.Interprète ce point.

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Correction détaillée

1
Les coordonnées du point moyen sont les moyennes des deux variables, ici sur $n = 6$ n = 6 journées.
2
$\overset{x}{ˉ} = \frac{18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28}{6} = \frac{138}{6} = 23$ barx = (18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28)/6 = 138/6 = 23.
3
$\overset{y}{ˉ} = \frac{120 + 134 + 148 + 165 + 178 + 194}{6} = \frac{939}{6} = 156, 5$ bary = (120 + 134 + 148 + 165 + 178 + 194)/6 = 939/6 = 156,5.
4
Le point moyen est $G (23; 156, 5)$ G(23 ;156,5) : sur ces six journées, il a fait en moyenne $23$ 23 °C et le kiosque a vendu en moyenne $156, 5$ 156,5 boissons par jour.

Réponse :

G (23; 156, 5)

G(23 ;156,5).

Rappel de cours : $G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ G(barx ;bary) : chaque coordonnée est la moyenne de la variable correspondante.

Exercice 2 — Lire un nuage de points

Application directe

Une entreprise a relevé, dans cinq de ses services, le nombre moyen d'heures de formation $x$ x suivies par salarié et le taux d'absentéisme $y$ y (en %).

Le nuage est représenté ci-dessous.

1.Lis les coordonnées des cinq points.
2.Décris la tendance du nuage.
3.Calcule le point moyen.

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Correction détaillée

1
On lit les points $(2; 14, 5)$ (2 ;14,5), $(4; 12, 8)$ (4 ;12,8), $(6; 11, 1)$ (6 ;11,1), $(8; 9, 6)$ (8 ;9,6) et $(10; 7, 9)$ (10 ;7,9).
2
Les points sont presque alignés sur une droite qui descend : plus les salariés sont formés, plus le taux d'absentéisme du service est faible.
Un ajustement affine décroissant est pertinent.
3
$\overset{x}{ˉ} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6$ barx = (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5 = 6 et $\overset{y}{ˉ} = \frac{14 , 5 + 12 , 8 + 11 , 1 + 9 , 6 + 7 , 9}{5} = \frac{55 , 9}{5} = 11, 18$ bary = (14,5 + 12,8 + 11,1 + 9,6 + 7,9)/5 = 55,9/5 = 11,18.
4
Le point moyen est $G (6; 11, 18)$ G(6 ;11,18).

Réponse : Tendance décroissante ·

G (6; 11, 18)

G(6 ;11,18).

Erreur fréquente : Conclure que la formation fait baisser l'absentéisme : le nuage montre un lien, pas une cause. Des services mieux organisés peuvent à la fois former davantage et avoir moins d'absences.

Exercice 3 — Une série chronologique

Application directe

Une association a compté ses adhérents de 2019 à 2024 : $310$ 310, $328$ 328, $350$ 350, $365$ 365, $384$ 384, $405$ 405.

On note $x$ x le rang de l'année (rang $1$ 1 pour 2019).

1.Quel rang correspond à 2022 ? à 2026 ?
2.Calcule le point moyen de la série.

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Correction détaillée

1
Le rang $1$ 1 correspond à 2019, donc le rang $x$ x correspond à l'année $2018 + x$ 2018 + x.
Ainsi 2022 a pour rang $4$ 4, et 2026 a pour rang $8$ 8.
2
$\overset{x}{ˉ} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3, 5$ barx = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5.
3
$\overset{y}{ˉ} = \frac{310 + 328 + 350 + 365 + 384 + 405}{6} = \frac{2 142}{6} = 357$ bary = (310 + 328 + 350 + 365 + 384 + 405)/6 = (2 142)/6 = 357.
4
Le point moyen est $G (3, 5; 357)$ G(3,5 ;357) : en moyenne $357$ 357 adhérents par an sur la période.

Réponse : 2022 : rang

4

4 ; 2026 : rang

8

8 ·

G (3, 5; 357)

G(3,5 ;357).

Rappel de cours : Utiliser le rang plutôt que l'année simplifie les calculs et les coefficients de la droite.

Exercice 4 — Quelle tendance ?

Application directe

Pour chaque série, prévois la forme du nuage : tendance croissante, tendance décroissante ou absence de lien.

1.Le kilométrage d'une voiture d'occasion et son prix de vente.
2.Le nombre d'heures d'ouverture hebdomadaire d'un magasin et son chiffre d'affaires.
3.Le jour du mois de naissance d'un client et le montant de son panier.

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Correction détaillée

1
Kilométrage et prix : tendance décroissante, une voiture qui a beaucoup roulé se revend moins cher.
2
Heures d'ouverture et chiffre d'affaires : tendance croissante, un magasin ouvert plus longtemps reçoit en général plus de clients.
3
Jour de naissance et panier : absence de lien, le nuage serait dispersé sans direction.
4
Ce sont des prévisions : seul le nuage obtenu avec les vraies données permet de conclure.

Réponse : Décroissante · croissante · pas de lien.

Exercice 5 — Retrouver une valeur manquante

Application directe

Pour cinq services d'une entreprise, on connaît les heures de formation $2$ 2, $4$ 4, $6$ 6, $8$ 8, $10$ 10 et les taux d'absentéisme $14, 5$ 14,5, $12, 8$ 12,8, ?, $9, 6$ 9,6, $7, 9$ 7,9 (en %).

Le point moyen est $G (6; 11, 18)$ G(6 ;11,18).

Retrouve la valeur manquante.

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Correction détaillée

1
La moyenne des cinq taux vaut $11, 18$ 11,18, donc leur somme vaut $5 \times 11, 18 = 55, 9$ 5 × 11,18 = 55,9.
2
Si $t$ t est la valeur manquante : $14, 5 + 12, 8 + t + 9, 6 + 7, 9 = 55, 9$ 14,5 + 12,8 + t + 9,6 + 7,9 = 55,9, soit $44, 8 + t = 55, 9$ 44,8 + t = 55,9.
3
Donc $t = 11, 1$ t = 11,1 : le troisième service a un taux d'absentéisme de $11, 1 %$ 11,1 %.

Réponse :

11, 1 %

11,1 %.

Rappel de cours : Connaître une moyenne, c'est connaître la somme : $somme = n \times \overset{y}{ˉ}$ somme = n × bary.

Exercice 6 — La droite de Mayer

À maîtriser

On reprend le kiosque : températures $18$ 18, $20$ 20, $22$ 22, $24$ 24, $26$ 26, $28$ 28 (°C) et ventes $120$ 120, $134$ 134, $148$ 148, $165$ 165, $178$ 178, $194$ 194.

1.Calcule les points moyens $G_{1}$ G₁ des trois premières journées et $G_{2}$ G₂ des trois dernières.
2.Détermine l'équation de la droite de Mayer.

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Correction détaillée

1
Les températures sont déjà rangées par ordre croissant.
$G_{1} (\frac{18 + 20 + 22}{3}; \frac{120 + 134 + 148}{3}) = (20; 134)$ G₁((18 + 20 + 22)/3 ;(120 + 134 + 148)/3) = (20 ;134).
2
$G_{2} (\frac{24 + 26 + 28}{3}; \frac{165 + 178 + 194}{3}) = (26; 179)$ G₂((24 + 26 + 28)/3 ;(165 + 178 + 194)/3) = (26 ;179).
3
Coefficient directeur : $a = \frac{179 - 134}{26 - 20} = \frac{45}{6} = 7, 5.$ a = (179 - 134)/(26 - 20) = 45/6 = 7,5.
4
Ordonnée à l'origine : $b = 134 - 7, 5 \times 20 = 134 - 150 = - 16$ b = 134 - 7,5 × 20 = 134 - 150 = -16.
5
La droite de Mayer a pour équation $y = 7, 5 x - 16$ y = 7,5x - 16.
Contrôle avec $G_{2}$ G₂ : $7, 5 \times 26 - 16 = 195 - 16 = 179$ 7,5 × 26 - 16 = 195 - 16 = 179.

Réponse :

G_{1} (20; 134)

G₁(20 ;134),

G_{2} (26; 179)

G₂(26 ;179) ·

y = 7, 5 x - 16

y = 7,5x - 16.

Rappel de cours : Méthode de Mayer : ranger, couper en deux groupes de même effectif, relier les deux points moyens.

Exercice 7 — Le point moyen est sur la droite de Mayer

À maîtriser

La droite de Mayer des ventes de boissons est $y = 7, 5 x - 16$ y = 7,5x - 16 et le point moyen est $G (23; 156, 5)$ G(23 ;156,5).

Vérifie que $G$ G appartient à cette droite, et explique pourquoi.

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Correction détaillée

1
On remplace $x$ x par $23$ 23 : $7, 5 \times 23 - 16 = 172, 5 - 16 = 156, 5$ 7,5 × 23 - 16 = 172,5 - 16 = 156,5.
On retrouve l'ordonnée de $G$ G.
2
Explication : les deux groupes ont le même effectif, donc la moyenne générale est la moyenne des deux moyennes de groupe.
Le point $G$ G est le milieu de $[G_{1} G_{2}]$ [G₁G₂].
3
En effet, le milieu de $G_{1} (20; 134)$ G₁(20 ;134) et $G_{2} (26; 179)$ G₂(26 ;179) est $(\frac{20 + 26}{2}; \frac{134 + 179}{2}) = (23; 156, 5)$ ((20 + 26)/2 ;(134 + 179)/2) = (23 ;156,5), et un milieu de segment est sur la droite qui le porte.

Réponse :

7, 5 \times 23 - 16 = 156, 5

7,5 × 23 - 16 = 156,5 :

G

G est le milieu de

[G_{1} G_{2}]

[G₁G₂].

Exercice 8 — Interpréter les coefficients

À maîtriser

Pour des voitures d'occasion d'un même modèle, la calculatrice donne la droite des moindres carrés $y = - 108, 5 x + 20610$ y = -108,5x + 20 610, où $x$ x est le kilométrage (en milliers de km, de $20$ 20 à $100$ 100) et $y$ y le prix de vente (en euros).

1.Interprète le coefficient $- 108, 5$ -108,5.
2.Interprète le nombre $20610$ 20 610. Est-ce une valeur observée ?

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Correction détaillée

1
Le coefficient directeur est négatif : chaque millier de kilomètres supplémentaire fait baisser le prix de vente d'environ $108, 50$ 108,50 €, soit environ $1085$ 1 085 € tous les $10000$ 10 000 km.
2
Pour $x = 0$ x = 0, $y = 20610$ y = 20 610 : c'est le prix estimé d'une voiture qui n'aurait jamais roulé.
3
Ce n'est pas une valeur observée : les données vont de $20000$ 20 000 à $100000$ 100 000 km.
C'est une extrapolation, et le prix réel d'une voiture neuve peut être bien différent (une voiture perd beaucoup de valeur dès qu'elle sort du garage).

Réponse :

- 108, 50

-108,50 € par millier de km ·

20610

20 610 € : prix extrapolé pour

0

0 km, non observé.

Exercice 9 — Estimer un prix par interpolation

À maîtriser

Avec la droite $y = - 108, 5 x + 20610$ y = -108,5x + 20 610 (prix en euros, $x$ x en milliers de km, données de $20$ 20 à $100$ 100), estime le prix d'une voiture qui a roulé $50000$ 50 000 km.

S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

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Correction détaillée

1
$50000$ 50 000 km correspondent à $x = 50$ x = 50, car $x$ x est exprimé en milliers de kilomètres.
2
$y = - 108, 5 \times 50 + 20610 = - 5425 + 20610 = 15185$ y = -108,5 × 50 + 20 610 = -5 425 + 20 610 = 15 185.
3
Le prix estimé est d'environ $15185$ 15 185 €.
4
$50$ 50 est compris entre $20$ 20 et $100$ 100 : c'est une interpolation, donc une estimation fiable si le nuage est bien aligné.

Réponse : Environ

15185

15 185 € (interpolation).

Erreur fréquente : Remplacer $x$ x par $50000$ 50 000 : le modèle travaille en milliers de kilomètres.

Exercice 10 — Équation d'une droite d'ajustement

À maîtriser

Une droite d'ajustement passe par les points $A (4; 310)$ A(4 ;310) et $B (10; 400)$ B(10 ;400).

Détermine son équation, puis vérifie que le point $G (7; 355)$ G(7 ;355) lui appartient.

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Correction détaillée

1
Coefficient directeur : $a = \frac{400 - 310}{10 - 4} = \frac{90}{6} = 15.$ a = (400 - 310)/(10 - 4) = 90/6 = 15.
2
On obtient $b$ b avec le point $A$ A : $310 = 15 \times 4 + b$ 310 = 15 × 4 + b, donc $b = 310 - 60 = 250$ b = 310 - 60 = 250.
3
L'équation est $y = 15 x + 250$ y = 15x + 250.
Contrôle avec $B$ B : $15 \times 10 + 250 = 400$ 15 × 10 + 250 = 400.
4
Pour $G$ G : $15 \times 7 + 250 = 105 + 250 = 355$ 15 × 7 + 250 = 105 + 250 = 355.
Le point $G (7; 355)$ G(7 ;355) appartient à la droite ; c'est d'ailleurs le milieu de $[A B]$ [AB].

Réponse :

y = 15 x + 250

y = 15x + 250 ;

G

G appartient à la droite.

Rappel de cours : $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A), puis $b = y_{A} - a x_{A}$ b = y_A - a x_A.

Exercice 11 — La droite de la calculatrice

À maîtriser

Pour le kiosque de plage, la calculatrice donne la droite des moindres carrés $y = 7, 41 x - 14, 03$ y = 7,41x - 14,03 (coefficients arrondis au centième), et la droite de Mayer est $y = 7, 5 x - 16$ y = 7,5x - 16.

Estime les ventes pour une journée à $25$ 25 °C avec chaque droite, et compare.

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Correction détaillée

1
Moindres carrés : $y = 7, 41 \times 25 - 14, 03 = 185, 25 - 14, 03 = 171, 22$ y = 7,41 × 25 - 14,03 = 185,25 - 14,03 = 171,22.
2
Mayer : $y = 7, 5 \times 25 - 16 = 187, 5 - 16 = 171, 5$ y = 7,5 × 25 - 16 = 187,5 - 16 = 171,5.
3
Les deux estimations, environ $171$ 171 boissons, ne diffèrent que de $0, 28$ 0,28 boisson : pour un nuage bien aligné, les méthodes donnent des droites très proches.
4
On arrondit à l'unité, puisqu'on compte des boissons : environ $171$ 171 boissons.

Réponse :

171, 22

171,22 et

171, 5

171,5 : environ

171

171 boissons dans les deux cas.

Exercice 12 — Écarts et somme des carrés

Type contrôle

Pour les cinq services (heures de formation $2$ 2, $4$ 4, $6$ 6, $8$ 8, $10$ 10 ; absentéisme $14, 5$ 14,5, $12, 8$ 12,8, $11, 1$ 11,1, $9, 6$ 9,6, $7, 9$ 7,9 en %), la calculatrice donne $y = - 0, 82 x + 16, 1$ y = -0,82x + 16,1.

1.Calcule les écarts $e_{i} = y_{i} - (- 0, 82 x_{i} + 16, 1)$ eᵢ = yᵢ - (-0,82xᵢ + 16,1).
2.Calcule la somme des carrés des écarts et commente.

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Correction détaillée

1
Les valeurs estimées par la droite sont $14, 46$ 14,46 ; $12, 82$ 12,82 ; $11, 18$ 11,18 ; $9, 54$ 9,54 ; $7, 9$ 7,9.
2
Les écarts sont donc $0, 04$ 0,04 ; $- 0, 02$ -0,02 ; $- 0, 08$ -0,08 ; $0, 06$ 0,06 ; $0$ 0.
3
Somme des carrés : $S = 0, 0016 + 0, 0004 + 0, 0064 + 0, 0036 + 0 = 0, 012$ S = 0,0016 + 0,0004 + 0,0064 + 0,0036 + 0 = 0,012.
4
Les écarts sont tous inférieurs à $0, 1$ 0,1 point de pourcentage : la droite est très proche des points, l'ajustement affine est excellent.
5
On remarque que la somme des écarts (sans les carrés) vaut $0$ 0 : les écarts positifs et négatifs se compensent, c'est pourquoi on mesure la qualité avec leurs carrés.

Réponse : Écarts

0, 04

0,04 ;

- 0, 02

-0,02 ;

- 0, 08

-0,08 ;

0, 06

0,06 ;

0

0 ·

S = 0, 012

S = 0,012.

Rappel de cours : La droite des moindres carrés est celle qui rend $S = \sum e_{i}^{2}$ S = Σ eᵢ² la plus petite possible.

Exercice 13 — Mayer ou moindres carrés ?

Type contrôle

Pour le kiosque (températures $18$ 18 à $28$ 28, ventes $120$ 120, $134$ 134, $148$ 148, $165$ 165, $178$ 178, $194$ 194), compare la droite de Mayer $y = 7, 5 x - 16$ y = 7,5x - 16 et la droite de la calculatrice $y = 7, 41 x - 14, 03$ y = 7,41x - 14,03 à l'aide de la somme des carrés des écarts.

On donne : pour la droite de la calculatrice, $S \approx 3, 55$ S ≈ 3,55.

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Correction détaillée

1
Pour la droite de Mayer, les valeurs estimées sont $119$ 119, $134$ 134, $149$ 149, $164$ 164, $179$ 179, $194$ 194.
2
Les écarts sont $1$ 1, $0$ 0, $- 1$ -1, $1$ 1, $- 1$ -1, $0$ 0, et $S = 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4$ S = 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4.
3
La droite des moindres carrés donne $S \approx 3, 55$ S ≈ 3,55, un peu moins que $4$ 4 : c'est normal, aucune droite ne peut faire mieux qu'elle sur ce critère.
4
L'écart entre les deux est très faible : la droite de Mayer, calculable à la main, est ici presque aussi bonne.

Réponse : Mayer :

S = 4

S = 4 ; moindres carrés :

S \approx 3, 55

S ≈ 3,55, légèrement meilleure.

Exercice 14 — Quand dépassera-t-on 450 adhérents ?

Type contrôle

Le nombre d'adhérents d'une association, selon le rang $x$ x de l'année (rang $1$ 1 : 2019), est ajusté par $y = 18, 8 x + 291, 2$ y = 18,8x + 291,2, à partir des données de 2019 à 2024.

En quelle année l'association devrait-elle dépasser $450$ 450 adhérents ?

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Correction détaillée

1
On résout l'inéquation $18, 8 x + 291, 2 > 450$ 18,8x + 291,2 > 450.
2
$18, 8 x > 158, 8$ 18,8x > 158,8, donc $x > \frac{158 , 8}{18 , 8} \approx 8, 45$ x > 158,8/18,8 ≈ 8,45.
3
Le premier rang entier qui convient est $9$ 9, soit l'année $2018 + 9 = 2027$ 2018 + 9 = 2027.
4
Contrôle : au rang $8$ 8, $18, 8 \times 8 + 291, 2 = 441, 6$ 18,8 × 8 + 291,2 = 441,6 ; au rang $9$ 9, $460, 4$ 460,4.
5
C'est une extrapolation de trois ans : elle suppose que l'association continue de gagner environ $19$ 19 adhérents par an.

Réponse : En 2027 (rang

9

9).

Erreur fréquente : Répondre « en 2026 » en arrondissant $8, 45$ 8,45 à $8$ 8 : au rang $8$ 8, le seuil n'est pas encore atteint.

Exercice 15 — Une extrapolation absurde

Type contrôle

Avec la droite $y = - 108, 5 x + 20610$ y = -108,5x + 20 610 (prix en euros d'une voiture d'occasion, $x$ x en milliers de km, données de $20$ 20 à $100$ 100), un vendeur estime le prix d'une voiture ayant $200000$ 200 000 km.

Calcule cette estimation et commente.

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Correction détaillée

1
$200000$ 200 000 km correspondent à $x = 200$ x = 200 : $y = - 108, 5 \times 200 + 20610 = - 21700 + 20610 = - 1090$ y = -108,5 × 200 + 20 610 = -21 700 + 20 610 = -1 090.
2
Le modèle annonce un prix négatif, ce qui est absurde.
3
L'erreur vient de l'extrapolation : $200$ 200 est le double de la plus grande valeur observée.
Le modèle prévoit même un prix nul vers $x = \frac{20 610}{108 , 5} \approx 190$ x = (20 610)/108,5 ≈ 190, soit $190000$ 190 000 km, alors qu'une voiture garde toujours une valeur de revente (pièces, export).
4
En réalité, la décote ralentit pour les voitures très kilométrées : la droite ne décrit les prix qu'entre $20000$ 20 000 et $100000$ 100 000 km.

Réponse :

- 1090

-1 090 € : absurde, le modèle n'est pas valable si loin des données.

Exercice 16 — Une donnée aberrante

Type contrôle

Le kiosque de plage a relevé une septième journée : $30$ 30 °C pour seulement $40$ 40 boissons vendues, ce jour-là un orage a fermé la plage dès midi.

1.Calcule le nouveau point moyen en gardant cette journée (sans elle, $G (23; 156, 5)$ G(23 ;156,5) sur six journées).
2.Faut-il garder cette journée pour ajuster les ventes en fonction de la température ?

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Correction détaillée

1
Sur six journées, les totaux sont $6 \times 23 = 138$ 6 × 23 = 138 pour les températures et $6 \times 156, 5 = 939$ 6 × 156,5 = 939 pour les ventes.
2
Avec la septième : $\overset{x}{ˉ} = \frac{138 + 30}{7} = \frac{168}{7} = 24$ barx = (138 + 30)/7 = 168/7 = 24 et $\overset{y}{ˉ} = \frac{939 + 40}{7} = \frac{979}{7} \approx 139, 9$ bary = (939 + 40)/7 = 979/7 ≈ 139,9.
3
Le point moyen descend de plus de $16$ 16 boissons, à cause d'une seule journée.
4
Cette journée est exceptionnelle : ce n'est pas la température qui explique ses faibles ventes, mais la fermeture de la plage.
La garder fausserait la droite (qui deviendrait beaucoup moins pentue).
On l'exclut de l'ajustement, en le signalant.

Réponse :

G^{'} (24; \approx 139, 9)

G'(24 ;≈ 139,9) · non : journée exceptionnelle, à exclure en le signalant.

Exercice 17 — Synthèse : former pour réduire l'absentéisme ?

Type bac / défi

Dans une entreprise, le taux d'absentéisme $y$ y (en %) d'un service est ajusté en fonction du nombre moyen d'heures de formation $x$ x par salarié par $y = - 0, 82 x + 16, 1$ y = -0,82x + 16,1, pour $x$ x entre $2$ 2 et $10$ 10.

1.Interprète le coefficient $- 0, 82$ -0,82.
2.Estime le taux d'absentéisme d'un service où chaque salarié suit $12$ 12 heures de formation. Quelle réserve faut-il formuler ?
3.La direction vise un taux d'absentéisme inférieur à $8 %$ 8 %. Quelle durée de formation le modèle suggère-t-il ?

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Correction détaillée

1
Une heure de formation supplémentaire par salarié est associée à une baisse du taux d'absentéisme d'environ $0, 82$ 0,82 point de pourcentage.
2
$y = - 0, 82 \times 12 + 16, 1 = - 9, 84 + 16, 1 = 6, 26$ y = -0,82 × 12 + 16,1 = -9,84 + 16,1 = 6,26, soit environ $6, 3 %$ 6,3 %.
C'est une extrapolation, puisque $12$ 12 dépasse $10$ 10.
3
Surtout, le lien n'est pas forcément une cause : les services qui forment le plus sont peut-être aussi les mieux organisés.
Former davantage ne garantit pas, à lui seul, la baisse prévue.
4
On résout $- 0, 82 x + 16, 1 < 8$ -0,82x + 16,1 < 8 : $- 0, 82 x < - 8, 1$ -0,82x < -8,1, donc $x > \frac{8 , 1}{0 , 82} \approx 9, 88$ x > 8,1/0,82 ≈ 9,88 (le sens change car on divise par un nombre négatif).
5
Le modèle suggère environ $10$ 10 heures de formation par salarié : c'est la limite haute des données, ce qui reste une estimation raisonnable.

Réponse :

- 0, 82

-0,82 point par heure · environ

6, 3 %

6,3 % (extrapolation, lien non causal) · environ

10

10 heures.

Rappel de cours : Diviser une inéquation par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

Exercice 18 — Synthèse : une tendance qui change

Type bac / défi

Les ventes annuelles d'un produit (en milliers d'unités) de 2017 (rang $1$ 1) à 2024 (rang $8$ 8) sont : $40$ 40, $41$ 41, $40$ 40, $42$ 42, $47$ 47, $52$ 52, $57$ 57, $62$ 62.

En 2021, l'entreprise a lancé une nouvelle version du produit.

1.Décris l'évolution des ventes.
2.Détermine la droite passant par les points des rangs $5$ 5 et $8$ 8, et vérifie que les rangs $6$ 6 et $7$ 7 sont dessus.
3.Estime les ventes de 2025. Pourquoi ne pas ajuster sur les huit années ?

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Correction détaillée

1
De 2017 à 2020, les ventes stagnent autour de $40000$ 40 000 unités.
À partir de 2021 (lancement de la nouvelle version), elles augmentent régulièrement de $5000$ 5 000 unités par an.
2
Les points $(5; 47)$ (5 ;47) et $(8; 62)$ (8 ;62) donnent $a = \frac{62 - 47}{8 - 5} = 5$ a = (62 - 47)/(8 - 5) = 5 et $b = 47 - 5 \times 5 = 22$ b = 47 - 5 × 5 = 22 : $y = 5 x + 22$ y = 5x + 22.
3
Contrôle : $5 \times 6 + 22 = 52$ 5 × 6 + 22 = 52 et $5 \times 7 + 22 = 57$ 5 × 7 + 22 = 57, les quatre derniers points sont alignés.
4
2025 a pour rang $9$ 9 : $y = 5 \times 9 + 22 = 67$ y = 5 × 9 + 22 = 67, soit environ $67000$ 67 000 unités.
5
Un ajustement sur les huit années mélangerait l'ancienne situation (stagnation) et la nouvelle (croissance) : la pente obtenue serait trop faible et sous-estimerait les ventes à venir.
On ajuste sur la période qui reflète la tendance actuelle.

Réponse :

y = 5 x + 22

y = 5x + 22 · environ

67000

67 000 unités en 2025.

Exercice 19 — Synthèse : vendre sa voiture

Type bac / défi

Le prix de vente $y$ y (en euros) de voitures d'occasion d'un même modèle selon leur kilométrage $x$ x (en milliers de km) est :

1.Kilométrages $20$ 20, $40$ 40, $60$ 60, $80$ 80, $100$ 100 ; prix $18500$ 18 500, $16200$ 16 200, $14000$ 14 000, $12100$ 12 100, $9700$ 9 700. Calcule le point moyen.
2.La calculatrice donne $y = - 108, 5 x + 20610$ y = -108,5x + 20 610. Vérifie que cette droite passe par le point moyen.
3.Un particulier veut vendre au moins $12000$ 12 000 € une voiture de ce modèle. Jusqu'à quel kilométrage est-ce réaliste ?

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Correction détaillée

1
$\overset{x}{ˉ} = \frac{300}{5} = 60$ barx = 300/5 = 60 et $\overset{y}{ˉ} = \frac{18 500 + 16 200 + 14 000 + 12 100 + 9 700}{5} = \frac{70 500}{5} = 14100$ bary = (18 500 + 16 200 + 14 000 + 12 100 + 9 700)/5 = (70 500)/5 = 14 100.
Donc $G (60; 14100)$ G(60 ;14 100).
2
$- 108, 5 \times 60 + 20610 = - 6510 + 20610 = 14100$ -108,5 × 60 + 20 610 = -6 510 + 20 610 = 14 100 : la droite passe bien par $G$ G.
3
On résout $- 108, 5 x + 20610 ⩾ 12000$ -108,5x + 20 610 ≥ 12 000 : $- 108, 5 x ⩾ - 8610$ -108,5x ≥ -8 610, donc $x ⩽ \frac{8 610}{108 , 5} \approx 79, 4$ x ≤ (8 610)/108,5 ≈ 79,4 (le sens change).
4
Selon le modèle, un prix de $12000$ 12 000 € est réaliste jusqu'à environ $79000$ 79 000 km.
C'est une interpolation, donc une estimation fiable ; l'état réel de la voiture (entretien, options) peut bien sûr faire varier le prix.

Réponse :

G (60; 14100)

G(60 ;14 100) · la droite passe par

G

G · jusqu'à environ

79000

79 000 km.

Exercice 20 — Synthèse : anticiper la saturation d'une salle

Type bac / défi

L'association de l'exercice précédent (adhérents $310$ 310, $328$ 328, $350$ 350, $365$ 365, $384$ 384, $405$ 405 de 2019 à 2024) loue une salle qui peut accueillir au plus $420$ 420 adhérents.

1.Calcule les points moyens $G_{1}$ G₁ et $G_{2}$ G₂ des trois premières et des trois dernières années, puis l'équation de la droite $(G_{1} G_{2})$ (G₁G₂), arrondie au dixième.
2.Compare avec la droite de la calculatrice $y = 18, 8 x + 291, 2$ y = 18,8x + 291,2.
3.En quelle année la salle deviendra-t-elle trop petite ? Quelle décision peut-on préparer ?

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Correction détaillée

1
$G_{1} (2; \frac{310 + 328 + 350}{3}) = (2; \frac{988}{3}) \approx (2; 329, 3)$ G₁(2 ;(310 + 328 + 350)/3) = (2 ;988/3) ≈ (2 ;329,3) et $G_{2} (5; \frac{365 + 384 + 405}{3}) = (5; 384, 7)$ G₂(5 ;(365 + 384 + 405)/3) = (5 ;384,7) environ, car $365 + 384 + 405 = 1154$ 365 + 384 + 405 = 1 154.
2
$a = \frac{1 154 - 988}{3 \times 3} = \frac{166}{9} \approx 18, 4$ a = (1 154 - 988)/(3 × 3) = 166/9 ≈ 18,4 et $b = \frac{988}{3} - \frac{166}{9} \times 2 \approx 292, 4$ b = 988/3 - 166/9 × 2 ≈ 292,4 : $y \approx 18, 4 x + 292, 4$ y ≈ 18,4x + 292,4.
3
Les deux droites sont très proches (pentes $18, 4$ 18,4 et $18, 8$ 18,8) : la tendance est d'environ $19$ 19 adhérents de plus par an.
4
Avec la droite de la calculatrice, on résout $18, 8 x + 291, 2 > 420$ 18,8x + 291,2 > 420 : $x > \frac{128 , 8}{18 , 8} \approx 6, 85$ x > 128,8/18,8 ≈ 6,85.
Le premier rang entier est $7$ 7, soit 2025 ( $18, 8 \times 7 + 291, 2 = 422, 8$ 18,8 × 7 + 291,2 = 422,8).
5
Dès 2025, la salle risque d'être trop petite : l'association peut chercher une salle plus grande, ou limiter les inscriptions.
C'est une extrapolation d'un an seulement, donc assez fiable.