Séries statistiques à deux variables en Première STMG

Séries statistiques à deux variables en Première STMG : cours complet

Une série statistique à deux variables associe à chaque individu (un mois, un magasin, un client) deux nombres $x_i$xᵢ et $y_i$yᵢ. En Première STMG, on représente ces données par un nuage de points, on calcule le point moyen, puis on cherche une droite d'ajustement qui permet d'estimer une grandeur à partir de l'autre.

Nuage de points

Le nuage de points est l'ensemble des points $M_i(x_i;y_i)$Mᵢ(xᵢ ; yᵢ) placés dans un repère. On choisit des échelles adaptées : les axes ne commencent pas forcément à $0$0.

Exemple

Dépenses publicitaires $x$x et chiffre d'affaires $y$y d'une boutique, en milliers d'euros :

Les points sont presque alignés le long d'une droite qui monte : un ajustement affine est pertinent.

Lire la forme du nuage

Pour une série chronologique (une valeur par année), on remplace souvent l'année par son rang : $1$1, $2$2, $3$3…

Point moyen

Le point moyen $G$G a pour coordonnées les moyennes des deux variables :

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\bar{y}=\frac{y_1+y_2+\cdots +y_n}{n}$$barx = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n bary = (y₁ + y₂ + … + yₙ)/n

Pour la boutique : $\bar{x}=\frac{24}{6}=4$barx = 24/6 = 4 et $\bar{y}=\frac{183}{6}=30,5$bary = 183/6 = 30,5, donc $G(4;30,5)$G(4 ; 30,5). Le point moyen se trouve au « centre » du nuage.

Droite d'ajustement

Une droite d'ajustement $y=ax+b$y = ax + b résume un nuage presque aligné. Pour trouver son équation à partir de deux points $A$A et $B$B :

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}b=y_A-a{x}_A$$a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) b = y_A - a x_A

Ajustement au jugé

On trace une droite qui passe « au milieu » du nuage, de préférence par le point moyen $G$G. Le résultat dépend de la personne qui trace.

Méthode de Mayer

1. Ranger les points par abscisses croissantes.
2. Les partager en deux groupes de même effectif.
3. Calculer les points moyens $G_1$G₁ et $G_2$G₂ des deux groupes.
4. La droite de Mayer est la droite $(G_1{G}_2)$(G₁ G₂) ; elle passe par $G$G.

Pour la boutique : $G_1(2;23)$G₁(2 ; 23) et $G_2(6;38)$G₂(6 ; 38), donc $a=\frac{38-23}{6-2}=3,75$a = (38 - 23)/(6 - 2) = 3,75 et $b=23-3,75\times 2=15,5$b = 23 - 3,75 × 2 = 15,5. La droite de Mayer a pour équation $y=3,75x+15,5$y = 3,75x + 15,5.

Méthode des moindres carrés

L'écart d'un point à la droite est $e_i=y_i-(a{x}_i+b)$eᵢ = yᵢ - (a xᵢ + b). La droite des moindres carrés est celle qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts :

$$S=e_1^2+e_2^2+\cdots +e_n^2$$S = e₁² + e₂² + … + eₙ²

Aucune formule n'est à connaître : la calculatrice (régression linéaire) ou le tableur donne $a$a et $b$b. Pour la boutique, on obtient $y\approx 3,64x+15,93$y ≈ 3,64x + 15,93. Cette droite passe elle aussi par le point moyen.

À la calculatrice, on saisit les $x_i$xᵢ dans la première liste et les $y_i$yᵢ dans la seconde : l'ordre compte.

Interpréter les coefficients

• $a$a : quand $x$x augmente de $1$1, $y$y augmente de $a$a en moyenne (diminue si $a<0$a < 0). Pour la boutique, chaque millier d'euros de publicité est associé à environ $3750$3 750 € de ventes en plus.
• $b$b : valeur estimée de $y$y pour $x=0$x = 0, à interpréter seulement si $x=0$x = 0 a un sens dans la situation.

Interpoler et extrapoler

On estime $y$y en remplaçant $x$x dans l'équation, ou on estime $x$x en résolvant $ax+b=k$ax + b = k.

• Interpolation : $x$x est compris entre la plus petite et la plus grande valeur observée. L'estimation est fiable si le nuage est bien aligné.
• Extrapolation : $x$x est en dehors des données. L'estimation suppose que la tendance continue, et elle est d'autant plus douteuse qu'on s'éloigne.

Exemple : avec $y=3,75x+15,5$y = 3,75x + 15,5, pour $4500$4 500 € de publicité ($x=4,5$x = 4,5), on estime les ventes à $3,75\times 4,5+15,5=32,375$3,75 × 4,5 + 15,5 = 32,375, soit environ $32400$32 400 € (interpolation).

Esprit critique

• Plausibilité : une quantité négative, un pourcentage supérieur à $100\%$100 %, une taille de $2,50$2,50 m signalent un modèle utilisé hors de son domaine.
• Valeur aberrante : un point très éloigné des autres (erreur de saisie, mois exceptionnel) fausse le point moyen et la droite ; on le vérifie avant d'ajuster.
• Changement de tendance : pour prévoir, on ajuste sur la période qui reflète la tendance actuelle.
• Corrélation n'est pas causalité : deux grandeurs qui varient ensemble peuvent dépendre toutes deux d'un troisième facteur.

Erreurs fréquentes à éviter

• Calculer le point moyen avec les seules valeurs extrêmes.
• Former les groupes de Mayer sans ranger les points par abscisses croissantes.
• Remplacer $x$x par l'année alors que le modèle utilise le rang.
• Oublier les unités : si $x$x est en milliers d'euros, $4500$4 500 € s'écrit $x=4,5$x = 4,5.
• Inverser les listes à la calculatrice.

FAQ — Statistiques à deux variables en Première STMG

À quoi sert le point moyen ?

Il résume le nuage en un point central, et il sert de contrôle : une bonne droite d'ajustement (Mayer, moindres carrés) passe par lui.

Quelle méthode d'ajustement choisir ?

Pour un nuage bien aligné, les méthodes donnent des droites très proches. La droite de Mayer se calcule à la main ; la droite des moindres carrés, donnée par la calculatrice, est celle qui minimise la somme des carrés des écarts.

Peut-on toujours faire un ajustement affine ?

Non. Il faut d'abord regarder le nuage : s'il est dispersé ou s'il dessine une courbe, une droite ne décrit pas correctement les données.

Pourquoi l'extrapolation est-elle risquée ?

Parce qu'elle suppose que la tendance observée continue au-delà des données, ce que la réalité ne garantit pas : saturation, capacité maximale, changement de contexte.