Exercices types · Terminale spé maths

L'asymptote — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Asymptotes de 1/x

Niveau 1 · Application directe

Donner les asymptotes de

f (x) = \frac{1}{x}

f(x) = 1/x.

Voir la correction

1.
En $0$ 0, $f \to \pm \infty$ f → ±∞ : AV $x = 0$ x = 0.
→ Les deux asymptotes
2.
À l'infini, $f \to 0$ f → 0 : AH $y = 0$ y = 0.

Réponse :

x = 0

x = 0 et

y = 0

y = 0.

Méthode utilisée : Asymptote verticale : dénominateur nul ; horizontale : limite en $\pm \infty$ ±∞.

Asymptote horizontale

Niveau 2 · Méthode complète

Donner l'asymptote horizontale de

f (x) = 3 + \frac{1}{x}

f(x) = 3 + 1/x.

Voir la correction

1.
Quand $x \to \pm \infty$ x → ±∞, $\frac{1}{x} \to 0$ 1/x → 0, donc $f \to 3$ f → 3.
→ Les deux asymptotes
2.
AH $y = 3$ y = 3.

Réponse :

y = 3

y = 3.

Asymptote verticale

Niveau 2 · Méthode complète

Donner l'asymptote verticale de

f (x) = \frac{1}{x - 2}

f(x) = 1/(x-2).

Voir la correction

1.
Dénominateur nul en $2$ 2 : $f \to \pm \infty$ f → ±∞.
→ Les deux asymptotes
2.
AV $x = 2$ x = 2.

Réponse :

x = 2

x = 2.

Les deux asymptotes

Niveau 2 · Méthode complète

Donner les asymptotes de

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}

f(x) = (2x+1)/(x-3).

Voir la correction

1.
Dénominateur nul en $3$ 3 : AV $x = 3$ x = 3.
→ Les deux asymptotes
2.
À l'infini : $f \to 2$ f → 2, AH $y = 2$ y = 2.

Réponse :

x = 3

x = 3 et

y = 2

y = 2.

Sans asymptote horizontale

Niveau 2 · Méthode complète

La fonction

f (x) = x^{2}

f(x) = x² a-t-elle une asymptote horizontale ?

Voir la correction

1.
Quand $x \to + \infty$ x → +∞, $x^{2} \to + \infty$ x² → +∞ (pas de limite finie).
→ Les deux asymptotes
2.
Pas d'asymptote horizontale.

Réponse : Non.

Erreur fréquente : Croire que toute fonction a une asymptote horizontale ( $x^{2} \to + \infty$ x²→+∞).

Asymptote horizontale y = 0

Niveau 1 · Application directe

Donner l'asymptote horizontale de

f (x) = \frac{5}{x}

f(x) = 5/x.

Voir la correction

1.
$\frac{5}{x} \to 0$ 5/x → 0 quand $x \to \pm \infty$ x → ±∞.
→ Les deux asymptotes
2.
AH $y = 0$ y = 0.

Réponse :

y = 0

y = 0.

Décaler une asymptote

Niveau 2 · Méthode complète

Donner l'asymptote horizontale de

f (x) = - 2 + \frac{3}{x}

f(x) = -2 + 3/x.

Voir la correction

1.
$\frac{3}{x} \to 0$ 3/x → 0, donc $f \to - 2$ f → -2.
→ Les deux asymptotes
2.
AH $y = - 2$ y = -2.

Réponse :

y = - 2

y = -2.

Asymptote verticale décalée

Niveau 2 · Méthode complète

Donner l'asymptote verticale de

f (x) = \frac{1}{x + 4}

f(x) = 1/(x+4).

Voir la correction

1.
Dénominateur nul en $- 4$ -4.
→ Les deux asymptotes
2.
AV $x = - 4$ x = -4.

Réponse :

x = - 4

x = -4.

Lecture graphique

Niveau 1 · Application directe

Une courbe se rapproche de la droite

y = 1

y = 1 quand

x \to + \infty

x → +∞. Quelle est cette droite ?

Voir la correction

1.
Une droite horizontale dont la courbe se rapproche à l'infini.
→ Les deux asymptotes
2.
C'est l'asymptote horizontale $y = 1$ y = 1.

Réponse : Asymptote horizontale

y = 1

y = 1.

Problème : médicament

Niveau 3 · Type contrôle

La quantité de médicament (en mg) dans le sang après

t

t heures est

q (t) = \frac{50}{t + 1}

q(t) = 50/(t+1). Vers quelle valeur tend

q (t)

q(t) quand

t

t devient très grand ? Interpréter.

Voir la correction

1.
Quand $t \to + \infty$ t → +∞, $\frac{50}{t + 1} \to 0$ 50/(t+1) → 0.
→ Les deux asymptotes
2.
Asymptote horizontale $y = 0$ y = 0 : le médicament finit par être totalement éliminé.

Réponse : Tend vers

0

0 : élimination complète (AH

y = 0

y = 0).

Tout sur limites et continuité en terminale

Limites de fonctions, asymptotes, continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

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