Notion

L'asymptote horizontale

Une asymptote horizontale à la courbe d'une fonction $f$ f est une droite d'équation $y = ℓ$ y=ℓ dont la courbe se rapproche indéfiniment lorsque $x$ x tend vers $+ \infty$ +∞ ou $- \infty$ -∞. Elle traduit directement une limite finie à l'infini : si $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ lim_x→+inftyf(x)=ℓ, alors $y = ℓ$ y=ℓ est asymptote horizontale en $+ \infty$ +∞. Par exemple, $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x)=1/x a pour asymptote horizontale l'axe des abscisses $y = 0$ y=0. La courbe peut s'approcher de l'asymptote par au-dessus, par en dessous, voire la traverser. Repérer les asymptotes horizontales fait partie de l'étude des limites et décrit le comportement d'une fonction quand $x$ x devient très grand.

Définitions

Asymptote horizontale: La droite $y = ℓ$ y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe si $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ lim_x→+∞ f(x) = ℓ (ou en $- \infty$ -∞), avec $ℓ$ ℓ fini.
Limite finie à l'infini: $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ lim_x→+inftyf(x)=ℓ (avec $ℓ$ ℓ fini) signifie que $y = ℓ$ y=ℓ est asymptote horizontale : la courbe se rapproche de cette droite à l'infini.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Asymptote horizontale →

x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ \Rightarrow y = ℓ asymptote horizontale

lim_x→±∞ f(x) = ℓ ⇒ y = ℓ asymptote horizontaleLimite finie à l'infini = asymptote horizontale.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Trouver une asymptote horizontale →

2 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Cas de 1/x

Niveau 1 · Application directe

Asymptote horizontale de

f (x) = \frac{1}{x}

f(x) = 1/x ?

Voir la correction

1.
$\frac{1}{x} \to 0$ 1/x → 0.
→ Asymptote horizontale
2.
$y = 0$ y = 0.

Réponse :

y = 0

y = 0.

Avec une constante

Niveau 1 · Application directe

Asymptote horizontale de

f (x) = 2 + \frac{1}{x}

f(x) = 2 + 1/x ?

Voir la correction

1.
$f \to 2$ f → 2.
→ Asymptote horizontale
2.
$y = 2$ y = 2.

Réponse :

y = 2

y = 2.

Faire les 10 exercices types sur asymptote horizontale8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une asymptote horizontale ?

C'est une droite horizontale y = ℓ dont la courbe se rapproche quand x part vers l'infini. La fonction « se stabilise » autour de cette valeur.

Comment la trouver ?

On calcule la limite de f(x) quand x tend vers +∞ (ou −∞). Si elle vaut un nombre fini ℓ, alors y = ℓ est asymptote horizontale.

Et pour un quotient de polynômes ?

Si les degrés sont égaux, l'asymptote est le rapport des coefficients dominants. Si le dénominateur est de degré plus grand, l'asymptote est y = 0.

Toute fonction a-t-elle une asymptote horizontale ?

Non. Si la fonction tend vers l'infini (comme x² ou x + 1), il n'y en a pas.

Quelle est l'équation d'une asymptote horizontale ?

y = ℓ, où ℓ est la limite finie de f(x) quand x tend vers +∞ ou −∞.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur limites et continuité en terminale

Limites de fonctions, asymptotes, continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Annales Bac Spécialité Maths Terminale

Outils et pages dédiées

Méthode de dichotomie en Python

Le chapitre complet, avec fiche et exercices corrigés en PDF :

Limites de fonctions — Terminale spé maths →