Continuité et théorème des valeurs intermédiaires en Terminale spé maths

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires en Terminale spé : cours complet

La continuité d'une fonction garantit qu'elle ne « saute pas ». Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est l'outil pour démontrer l'existence de solutions d'équations.

Définition de la continuité

Définition

Une fonction $f$f est continue en $a$a si :

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$$lim_x → a f(x) = f(a)

Elle est continue sur un intervalle $I$I si elle est continue en tout point de $I$I.

Intuition

La courbe se trace sans lever le crayon.

Fonctions continues usuelles

• Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$ℝ.
• Les fonctions rationnelles (quotient de polynômes) sont continues sur leur ensemble de définition.
• $\sqrt{x}$√(x) est continue sur $[0;+\infty [$[0 ; +∞[.
• $\sin ,\cos$sin, cos sont continues sur $\mathbb{R}$ℝ.
• $\exp$exp est continue sur $\mathbb{R}$ℝ.
• $\ln$ln est continue sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

Opérations

Somme, produit, quotient (sans annulation du dénominateur) et composée de fonctions continues sont continues.

Lien dérivabilité — continuité

Toute fonction dérivable est continue.

La réciproque est fausse : $f(x)=|x|$f(x) = |x| est continue en $0$0 mais pas dérivable.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé

Soit $f$f une fonction continue sur $[a;b]$[a ; b]. Pour tout réel $k$k compris entre $f(a)$f(a) et $f(b)$f(b), il existe au moins un $c\in [a;b]$c ∈ [a ; b] tel que $f(c)=k$f(c) = k.

Cas particulier : zéro d'une fonction

Si $f$f est continue sur $[a;b]$[a ; b] et $f(a)\times f(b)<0$f(a) × f(b) < 0 (changement de signe), alors l'équation $f(x)=0$f(x) = 0 admet au moins une solution dans $]a;b[$]a ; b[.

Corollaire (TVI bijectif)

Si $f$f est continue et strictement monotone sur $[a;b]$[a ; b], alors pour tout $k$k entre $f(a)$f(a) et $f(b)$f(b), l'équation $f(x)=k$f(x) = k admet une unique solution dans $[a;b]$[a ; b].

Méthode pour démontrer l'unicité d'une solution

1. Étudier le signe de $f^{\prime }$f' pour montrer la monotonie stricte.
2. Évaluer aux bornes : $f(a)$f(a) et $f(b)$f(b).
3. Conclure avec le TVI bijectif.

Algorithme de dichotomie

Pour approcher une solution de $f(x)=0$f(x) = 0 sur $[a;b]$[a ; b] :

1. Calculer $m=\frac{a+b}{2}$m = (a + b)/2.
2. Si $f(a)\times f(m)<0$f(a) × f(m) < 0 : la solution est dans $[a;m]$[a ; m].
3. Sinon : dans $[m;b]$[m ; b].
4. Répéter jusqu'à atteindre la précision souhaitée.

Code Python

def dichotomie(f, a, b, eps):
    while b - a > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) < 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a + b) / 2

Continuité et limites

$$f\text{ continue en }a⟺\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=f(a)$$f continue en a ⇔ lim_x → a⁻ f(x) = lim_x → a⁺ f(x) = f(a)

Cas de discontinuité

• Saut : limites à gauche et à droite différentes.
• Trou : limite existe mais $f(a)$f(a) n'est pas définie ou diffère.
• Asymptote verticale : limite infinie.

Exemple : application du TVI

Énoncé

Soit $f(x)=x^3+x-1$f(x) = x³ + x - 1. Montrer que $f(x)=0$f(x) = 0 admet une unique solution dans $\mathbb{R}$ℝ.

Solution

• $f$f est polynomiale, donc continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ℝ.
• $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$f'(x) = 3x² + 1 > 0 pour tout $x$x, donc $f$f est strictement croissante.
• $f(0)=-1<0$f(0) = -1 < 0 et $f(1)=1>0$f(1) = 1 > 0.
• Par le TVI bijectif, $f(x)=0$f(x) = 0 admet une unique solution $\alpha \in [0;1]$α ∈ [0 ; 1].

Par dichotomie : $\alpha \approx 0,68$α ≈ 0,68.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier la continuité : le TVI ne s'applique qu'aux fonctions continues.
• Confondre TVI et bijectivité : sans monotonie, on a l'existence mais pas l'unicité.
• Mauvais signe lors du test $f(a)\times f(b)<0$f(a) × f(b) < 0.
• Croire que dérivabilité = continuité (oui, dans ce sens), mais pas l'inverse.

FAQ — Continuité et TVI

Pourquoi le TVI est-il important ?

C'est l'outil par excellence pour prouver l'existence d'une solution sans la calculer.

Que faire si $f$f n'est pas monotone ?

Le TVI donne l'existence mais pas l'unicité : il peut y avoir plusieurs solutions.

À quoi sert la dichotomie ?

À approcher numériquement une solution avec une précision donnée, sans formule explicite.

Toutes les fonctions sont-elles continues ?

Non : par exemple la partie entière, ou des fonctions définies par morceaux avec saut.