Notion

La limite finie

Une fonction $f$ f admet une limite finie $ℓ$ ℓ en $+ \infty$ +∞ (ou $- \infty$ -∞) lorsque $f (x)$ f(x) se rapproche autant qu'on veut du nombre $ℓ$ ℓ à mesure que $x$ x devient très grand. On note $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ lim_x→+inftyf(x)=ℓ. Graphiquement, cela signifie que la courbe se rapproche de la droite horizontale d'équation $y = ℓ$ y=ℓ : cette droite est une asymptote horizontale. Une limite finie peut aussi exister en un point $a$ a, auquel cas $f (x)$ f(x) tend vers $ℓ$ ℓ quand $x$ x tend vers $a$ a. Les limites finies servent à décrire le comportement d'une fonction, à repérer ses asymptotes et à modéliser des phénomènes qui se stabilisent : température, concentration, population.

Définitions

Limite finie: On dit que $f$ f a pour limite finie $ℓ$ ℓ en $+ \infty$ +∞ si $f (x)$ f(x) se rapproche autant qu'on veut de $ℓ$ ℓ quand $x$ x devient grand. On note $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ lim_x→+∞ f(x) = ℓ.
Asymptote horizontale: Si $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ lim_x→+inftyf(x)=ℓ, la droite $y = ℓ$ y=ℓ est asymptote horizontale à la courbe en $+ \infty$ +∞ : la courbe s'en rapproche sans forcément la toucher.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Limites finies usuelles →

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0 x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{2}} = 0

lim_x→+∞1/x = 0 lim_x→+∞1/x² = 0Les inverses tendent vers 0 à l'infini.

Méthodes

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Calculer une limite finie →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Limite de 1/x

Niveau 1 · Application directe

Calculer

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}

lim_x→+∞1/x.

Voir la correction

1.
L'inverse d'un grand nombre est petit.
→ Limites finies usuelles
2.
$= 0$ = 0.

Réponse :

0

Avec constante

Niveau 1 · Application directe

Calculer

lim_{x \to + \infty} (3 + \frac{1}{x})

lim_x→+∞(3 + 1/x).

Voir la correction

1.
$\frac{1}{x} \to 0$ 1/x → 0.
→ Limites finies usuelles
2.
$\to 3$ → 3.

Réponse :

3

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Questions fréquentes

C'est quoi une limite finie ?

C'est quand une fonction se rapproche d'un nombre fixe à l'infini. Par exemple 3 + 1/x se rapproche de 3 quand x devient grand.

Quel lien avec l'asymptote horizontale ?

Une limite finie ℓ à l'infini signifie que la courbe a une asymptote horizontale y = ℓ : elle se stabilise vers cette hauteur.

Pourquoi 1/x tend vers 0 ?

Parce que diviser 1 par un nombre de plus en plus grand donne un résultat de plus en plus petit, qui s'approche de 0 sans l'atteindre.

Que signifie « f(x) tend vers ℓ » ?

Que f(x) se rapproche autant qu'on veut de ℓ quand x devient très grand (ou tend vers une valeur). On note lim f(x) = ℓ.

Comment reconnaître une limite finie sur une courbe ?

La courbe se rapproche d'une droite horizontale y = ℓ sans forcément l'atteindre : c'est une asymptote horizontale.

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