Notion

L'asymptote verticale

Une asymptote verticale à la courbe d'une fonction $f$ f est une droite d'équation $x = a$ x=a dont la courbe se rapproche indéfiniment lorsque $x$ x tend vers $a$ a, la fonction devenant infinie : $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ lim_x→ af(x)=±∞. Cela se produit typiquement en une valeur qui annule un dénominateur (comme $\frac{1}{x - 2}$ 1/(x-2) en $x = 2$ x=2) ou l'argument d'un logarithme ( $ln x$ ln x en $0$ 0). Près de l'asymptote, la courbe file vers le haut ou vers le bas sans jamais toucher la droite. Repérer les asymptotes verticales fait partie de l'étude des limites et du tracé d'une courbe : elles délimitent les zones où la fonction explose.

Définitions

Asymptote verticale: La droite $x = a$ x = a est asymptote verticale si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ lim_x→ a f(x) = ±∞. Cela arrive typiquement quand le dénominateur s'annule en $a$ a.
Limite infinie en un point: Si $x \to a lim f (x) = + \infty$ lim_x→ af(x)=+∞ ou $- \infty$ -∞, la droite $x = a$ x=a est asymptote verticale : la courbe s'en approche en montant ou descendant sans fin.

Formules

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Asymptote verticale →

x \to a lim f (x) = \pm \infty \Rightarrow x = a asymptote verticale

lim_x→ a f(x) = ±∞ ⇒ x = a asymptote verticaleLimite infinie en un point = asymptote verticale.

Méthodes

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Trouver une asymptote verticale →

2 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Cas de 1/(x−2)

Niveau 1 · Application directe

Asymptote verticale de

f (x) = \frac{1}{x - 2}

f(x) = 1/(x-2) ?

Voir la correction

1.
Dénominateur nul en $2$ 2.
→ Asymptote verticale
2.
$x = 2$ x = 2.

Réponse :

x = 2

x = 2.

Cas de 1/x

Niveau 1 · Application directe

Asymptote verticale de

f (x) = \frac{1}{x}

f(x) = 1/x ?

Voir la correction

1.
Dénominateur nul en $0$ 0.
→ Asymptote verticale
2.
$x = 0$ x = 0.

Réponse :

x = 0

x = 0.

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Questions fréquentes

C'est quoi une asymptote verticale ?

C'est une droite verticale x = a près de laquelle la courbe file vers l'infini (en haut ou en bas). La fonction « explose » à l'approche de cette valeur.

Où la trouve-t-on ?

Aux valeurs interdites : là où le dénominateur s'annule. Pour 1/(x−2), c'est en x = 2.

Quelle est son équation ?

Toujours de la forme x = a (une droite verticale), pas y = a. Par exemple x = 3.

Peut-il y en avoir plusieurs ?

Oui : s'il y a plusieurs valeurs interdites. Par exemple 1/(x²−1) a deux asymptotes verticales, en x = −1 et x = 1.

Comment trouver l'équation d'une asymptote verticale ?

On cherche les valeurs interdites a (qui annulent le dénominateur) où f(x) tend vers ±∞ : l'asymptote a pour équation x = a.

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