Limites de fonctions en Terminale spé maths

Limites de fonctions en Terminale spé : ce qu'il faut savoir

La notion de limite décrit le comportement d'une fonction $f$f aux bornes de son ensemble de définition (en $+\infty$+∞, $-\infty$-∞, ou au voisinage d'un point $a$a). C'est l'outil central de l'analyse en Terminale spé maths : il permet d'étudier les asymptotes, de comprendre la croissance des fonctions exponentielle et logarithme, et de justifier la convergence des suites. Cette fiche reprend toutes les définitions, les opérations, les formes indéterminées et les techniques attendues au baccalauréat.

Définitions des limites

Limite finie en $+\infty$+∞

On dit que $f$f admet pour limite $\ell$ℓ en $+\infty$+∞, et on note $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$lim_x → +∞ f(x) = ℓ, lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ℓ contient toutes les valeurs $f(x)$f(x) pour $x$x assez grand. Graphiquement, la courbe se rapproche de la droite horizontale d'équation $y=\ell$y = ℓ.

Limite infinie en $+\infty$+∞

On dit que $f$f tend vers $+\infty$+∞ en $+\infty$+∞ lorsque tout intervalle de la forme $[A,+\infty [$[A,+∞[ contient toutes les valeurs $f(x)$f(x) pour $x$x assez grand : $$\forall A\in \mathbb{R},\exists B\in \mathbb{R},\forall x\ge B,f(x)\ge A.$$∀ A ∈ ℝ, ∃ B ∈ ℝ, ∀ x ≥ B, f(x) ≥ A.

Les définitions en $-\infty$-∞ s'obtiennent par symétrie.

Limite en un point $a$a

On dit que $f$f tend vers $\ell$ℓ en $a$a lorsque $f(x)$f(x) se rapproche de $\ell$ℓ dès que $x$x se rapproche suffisamment de $a$a. Lorsque $f$f tend vers $+\infty$+∞ (ou $-\infty$-∞) en $a$a, la droite verticale d'équation $x=a$x = a est asymptote à la courbe.

Limites à gauche et à droite

Quand $f$f n'est pas définie en $a$a (ou que les comportements diffèrent), on étudie séparément :

• $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$lim_x → a⁻ f(x) : limite à gauche, pour $x<a$x < a ;
• $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$lim_x → a⁺ f(x) : limite à droite, pour $x>a$x > a.

La limite en $a$a existe si et seulement si ces deux limites existent et sont égales.

Limites des fonctions de référence

À connaître par cœur :

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n=+\infty$lim_x → +∞ xⁿ = +∞ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$n ∈ ℕ^(*) ;
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n=+\infty$lim_x → -∞ xⁿ = +∞ si $n$n pair, $-\infty$-∞ si $n$n impair ;
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0$lim_x → +∞ 1/xⁿ = 0 et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^n}=+\infty$lim_x → 0⁺ 1/xⁿ = +∞ ;
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$lim_x → +∞ √(x) = +∞ ;
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$lim_x → +∞ e^(x) = +∞ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$lim_x → -∞ e^(x) = 0 ;
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (x)=+\infty$lim_x → +∞ ln(x) = +∞ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (x)=-\infty$lim_x → 0⁺ ln(x) = -∞.

Opérations sur les limites

Les théorèmes suivants permettent de calculer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient à partir des limites de chacun des termes — sauf lorsqu'on tombe sur une forme indéterminée (voir plus bas).

Somme

Produit

Le produit suit la règle des signes ; les seuls cas problématiques sont $0\times \infty$0 × ∞.

Quotient

Si $\lim g={\ell }^{\prime }\ne 0$lim g = ℓ' ≠ 0, alors $\lim \frac{f}{g}=\frac{\lim f}{{\ell }^{\prime }}$lim f/g = (lim f)/ℓ'. Si $\lim g=0$lim g = 0, il faut étudier le signe de $g$g au voisinage pour conclure (et appliquer la règle $\frac{\text{non nul}}{0^{\pm }}=\pm \infty$(non nul)/0^(\)pm = ±∞).

Les quatre formes indéterminées

Les F.I. sont des situations où les théorèmes d'opérations ne permettent pas de conclure directement. Il y en a quatre : $$\infty -\infty ,0\times \infty ,\frac{\infty }{\infty },\frac{0}{0}.$$∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0.

Lever une F.I. — méthodes classiques

• Polynôme en $\pm \infty$±∞ : factoriser par le terme de plus haut degré. Exemple : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^3-5x^2+2)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^3}\right)=+\infty .$$lim_x → +∞ (x³ - 5x² + 2) = lim_x → +∞ x³ (1 - 5/x + 2/x³) = +∞.
• Quotient de polynômes en $\pm \infty$±∞ : la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré.
• Racine : multiplier par la quantité conjuguée pour faire disparaître la racine au numérateur ou dénominateur.
• Exponentielle / logarithme : utiliser les croissances comparées ci-dessous.
• Indéterminée en un point : factoriser par $(x-a)$(x - a) au numérateur et au dénominateur.

Croissances comparées (à savoir par cœur)

Ces résultats sont indispensables : ils tranchent immédiatement les F.I. impliquant exp ou ln.

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty \text{et}\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0(n\in \mathbb{N}).$$lim_x → +∞ e^(x)/xⁿ = +∞ et lim_x → -∞ xⁿ e^(x) = 0 (n ∈ ℕ).

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x^n}=0\text{et}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^n\ln (x)=0.$$lim_x → +∞ ln(x)/xⁿ = 0 et lim_x → 0⁺ xⁿ ln(x) = 0.

Interprétation : l'exponentielle « écrase » toute puissance, et toute puissance « écrase » le logarithme. C'est la hiérarchie $\ln \ll x^n\ll e^x$ln ll xⁿ ll e^(x).

Théorèmes de comparaison

Théorème des gendarmes

Si pour $x$x assez grand on a $u(x)\le f(x)\le v(x)$u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si $\lim u=\lim v=\ell$lim u = lim v = ℓ, alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$lim_x → +∞ f(x) = ℓ.

Théorème de comparaison (limites infinies)

• Si $f(x)\ge u(x)$f(x) ≥ u(x) pour $x$x assez grand et $\lim u=+\infty$lim u = +∞, alors $\lim f=+\infty$lim f = +∞.
• Si $f(x)\le v(x)$f(x) ≤ v(x) pour $x$x assez grand et $\lim v=-\infty$lim v = -∞, alors $\lim f=-\infty$lim f = -∞.

Ces théorèmes sont les seules méthodes valables lorsque la fonction est encadrée mais pas explicitement calculable (typiquement avec $\sin$sin, $\cos$cos ou des suites).

Asymptotes

Asymptote horizontale

Si $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\ell$lim_x → ±∞ f(x) = ℓ, la droite $y=\ell$y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe en $\pm \infty$±∞.

Asymptote verticale

Si $\underset{x\to a^{\pm }}{\lim }f(x)=\pm \infty$lim_x → a^(\)pm f(x) = ±∞, la droite $x=a$x = a est asymptote verticale.

Asymptote oblique

La droite $y=ax+b$y = ax + b est asymptote oblique en $+\infty$+∞ lorsque $$\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(ax+b)]=0.$$lim_x → +∞ [f(x) - (ax + b)] = 0. On peut la rechercher en calculant successivement $a=\lim \frac{f(x)}{x}$a = lim f(x)/x puis $b=\lim (f(x)-ax)$b = lim (f(x) - ax).

Erreurs classiques à éviter

• Confondre $0^{+}$0⁺ et $0$0 : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$lim_x → 0⁺ 1/x = +∞ mais $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$lim_x → 0⁻ 1/x = -∞ — toujours étudier le signe.
• Appliquer les opérations en F.I. : écrire « $\infty -\infty =0$∞ - ∞ = 0 » est faux. Il faut transformer l'expression.
• Oublier les croissances comparées : un quotient $\frac{\ln x}{x}$(ln x)/x n'est pas indéterminé « dans l'absolu », il vaut $0$0 en $+\infty$+∞.
• Confondre limite et valeur : $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3$lim_x → 2 f(x) = 3 ne signifie pas $f(2)=3$f(2) = 3 (la fonction peut ne pas être définie en $2$2).
• Asymptote oblique uniquement par division : si $\frac{f(x)}{x}$f(x)/x tend vers $\pm \infty$±∞, il n'y a pas d'asymptote oblique.

Méthode pas à pas — lever une F.I. en exercice

1. Identifier la forme indéterminée en remplaçant naïvement.
2. Choisir la technique adaptée : factorisation, conjugué, croissance comparée, comparaison.
3. Transformer l'expression jusqu'à éliminer l'indétermination.
4. Conclure en appliquant les opérations sur les limites ou un théorème de comparaison.
5. Vérifier la cohérence (signe, ordre de grandeur).

FAQ — limites de fonctions

Quelle est la différence entre limite à gauche et limite à droite ?

La limite à gauche en $a$a s'étudie pour $x<a$x < a qui se rapproche de $a$a, la limite à droite pour $x>a$x > a. Si les deux existent et sont égales, alors $f$f admet une limite en $a$a ; sinon, $f$f n'a pas de limite en $a$a.

Quand utiliser le théorème des gendarmes ?

Dès qu'on peut encadrer la fonction par deux expressions de même limite, en particulier lorsqu'apparaissent $\sin$sin, $\cos$cos, $(-1{)}^n$(-1)ⁿ ou des termes oscillants : on majore et on minore par des fonctions explicites.

Comment savoir si une fonction admet une asymptote oblique ?

On calcule $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$lim_x → +∞ f(x)/x. Si cette limite est un réel $a$a non nul, on calcule $\lim (f(x)-ax)$lim (f(x) - ax). Si cette seconde limite est un réel $b$b, alors $y=ax+b$y = ax + b est asymptote.

Quelle limite mémoriser absolument pour le bac ?

Les croissances comparées ($e^x$e^(x) contre $x^n$xⁿ contre $\ln x$ln x), les limites en $0$0 et $+\infty$+∞ de $\ln$ln et $e^x$e^(x), ainsi que les limites de $\frac{1}{x^n}$1/xⁿ : ces trois familles couvrent une très large partie des questions de limites au baccalauréat.