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Formule : Les deux asymptotes

Verticale via une limite infinie, horizontale via une limite finie.

lim_x→ a f(x) = ±∞ ⇒ x = a ; lim_x→±∞ f(x) = ℓ ⇒ y = ℓ

Ce que dit la formule

Si f(x) tend vers ±∞ quand x approche a, la droite x = a est asymptote verticale.

Si f(x) tend vers une valeur finie ℓ quand x → ±∞, la droite y = ℓ est asymptote horizontale.

Les deux critères se distinguent par ce qui part à l'infini. Pour la verticale, c'est f qui explose quand x s'approche d'un nombre. Pour l'horizontale, c'est x qui part à l'infini pendant que f se stabilise.

Une asymptote n'est pas une barrière : la courbe ne peut jamais franchir une asymptote verticale, faute d'y être définie, mais elle peut couper une asymptote horizontale.

Exemple

f(x) = 1/x : asymptote verticale x = 0, asymptote horizontale y = 0.

Deuxième exemple

f(x) = 3x/(x-2) : en 2, le quotient tend vers l'infini, d'où l'asymptote verticale x = 2 ; à l'infini, la limite vaut 3, d'où l'asymptote horizontale y = 3.

Piège à éviter

Asymptote verticale = limite infinie en un point ; horizontale = limite finie à l'infini.

Questions fréquentes

Comment retenir quel critère donne quelle asymptote ?
L'asymptote est perpendiculaire à l'axe de ce qui reste fini : x = a est verticale car x se fixe en a ; y = ℓ est horizontale car f se fixe en ℓ.
Peut-on avoir les deux asymptotes sur la même courbe ?
Oui, c'est le cas de toute fonction homographique, à commencer par la fonction inverse.
Une asymptote fait-elle partie de la courbe ?
Non : c'est une droite auxiliaire qu'on trace en pointillés. Elle guide le tracé sans appartenir à la représentation graphique de la fonction.

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