Exercices types · Terminale spé maths

L'asymptote horizontale — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Cas de 1/x

Niveau 1 · Application directe

Asymptote horizontale de

f (x) = \frac{1}{x}

f(x) = 1/x ?

Voir la correction

1.
$\frac{1}{x} \to 0$ 1/x → 0.
→ Asymptote horizontale
2.
$y = 0$ y = 0.

Réponse :

y = 0

y = 0.

Avec une constante

Niveau 1 · Application directe

Asymptote horizontale de

f (x) = 2 + \frac{1}{x}

f(x) = 2 + 1/x ?

Voir la correction

1.
$f \to 2$ f → 2.
→ Asymptote horizontale
2.
$y = 2$ y = 2.

Réponse :

y = 2

y = 2.

Quotient même degré

Niveau 2 · Méthode complète

Asymptote horizontale de

f (x) = \frac{3 x + 1}{x}

f(x) = (3x+1)/x ?

Voir la correction

1.
$f (x) = 3 + \frac{1}{x} \to 3$ f(x) = 3 + 1/x → 3.
→ Asymptote horizontale

Réponse :

y = 3

y = 3.

Méthode utilisée : Degrés égaux : l'asymptote horizontale est le rapport des coefficients dominants.

Erreur fréquente : Donner $y = 0$ y=0 alors que les degrés sont égaux.

Homographique

Niveau 2 · Méthode complète

Asymptote horizontale de

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}

f(x) = (2x+1)/(x-3) ?

Voir la correction

1.
Rapport des coefficients dominants : $\frac{2}{1}$ 2/1.
→ Asymptote horizontale
2.
$y = 2$ y = 2.

Réponse :

y = 2

y = 2.

Limite négative

Niveau 2 · Méthode complète

Asymptote horizontale de

f (x) = - 1 + \frac{2}{x}

f(x) = -1 + 2/x ?

Voir la correction

1.
$\frac{2}{x} \to 0$ 2/x → 0, donc $f \to - 1$ f → -1.
→ Asymptote horizontale

Réponse :

y = - 1

y = -1.

Pas d'asymptote horizontale

Niveau 2 · Méthode complète

f (x) = x + 1

f(x) = x + 1 a-t-elle une asymptote horizontale ?

Voir la correction

1.
$x + 1 \to + \infty$ x + 1 → +∞ quand $x \to + \infty$ x → +∞.
→ Asymptote horizontale
2.
Pas de limite finie : aucune asymptote horizontale.

Réponse : Non.

Quotient avec degré inférieur

Niveau 2 · Méthode complète

Asymptote horizontale de

f (x) = \frac{5}{x + 2}

f(x) = 5/(x+2) ?

Voir la correction

1.
Le dénominateur l'emporte : $f \to 0$ f → 0.
→ Asymptote horizontale

Réponse :

y = 0

y = 0.

Coefficients dominants

Niveau 3 · Type contrôle

Asymptote horizontale de

f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}

f(x) = (4x-1)/(2x+3) ?

Voir la correction

1.
Rapport des coefficients dominants : $\frac{4}{2} = 2$ 4/2 = 2.
→ Asymptote horizontale

Réponse :

y = 2

y = 2.

Lecture

Niveau 1 · Application directe

Une courbe se stabilise vers

y = - 3

y = -3 quand

x \to + \infty

x → +∞. Comment s'appelle cette droite ?

Voir la correction

1.
Une droite horizontale dont la courbe se rapproche à l'infini.
→ Asymptote horizontale
2.
Asymptote horizontale $y = - 3$ y = -3.

Réponse : Asymptote horizontale

y = - 3

y = -3.

Problème : population

Niveau 3 · Type contrôle

Une population (en milliers) évolue selon

P (t) = \frac{80 t}{t + 4}

P(t) = 80t/(t+4). Vers quelle valeur tend la population à long terme ?

Voir la correction

1.
$P (t) = \frac{80 t}{t + 4} \to \frac{80}{1} = 80$ P(t) = 80t/(t+4) → 80/1 = 80 quand $t \to + \infty$ t → +∞.
→ Asymptote horizontale
2.
Asymptote horizontale $y = 80$ y = 80 : la population se stabilise vers $80$ 80 milliers.

Réponse : Vers

80

80 milliers (AH

y = 80

y = 80).

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