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Notion

La limite infinie

Une limite infinie décrit une fonction dont les valeurs f(x) deviennent aussi grandes (ou aussi petites) que l'on veut : elles finissent par dépasser n'importe quel nombre. On note lim f(x)=+∞ si f(x) croît sans borne, et -∞ si elle décroît sans fin. Cela se produit soit quand x tend vers l'infini (comme x²→+∞), soit quand x s'approche d'une valeur interdite (comme 1/(x-2) près de 2), donnant alors une asymptote verticale. Attention : +∞ n'est pas un nombre, mais une description du comportement. Le calcul de limites infinies mobilise le terme dominant et la levée des formes indéterminées.

Définitions

Limite infinie
lim f(x) = +∞ signifie que f(x) finit par dépasser n'importe quel nombre. De même -∞ si elle descend sans fin.
Forme indéterminée
C'est un calcul de limite qui ne se conclut pas directement (∞-∞, ∞/∞, 0×∞, 0/0). Il faut transformer l'expression pour la lever.

Formules

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Limites infinies usuelles →lim_x→+∞ x² = +∞ lim_x→+∞ √(x) = +∞Les puissances et racines explosent à l'infini.Opérations et formes indéterminées →(+∞)+(+∞)=+∞ (+∞)×(+∞)=+∞Certaines opérations sont directes, d'autres indéterminées.

Méthodes

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Calculer une limite infinie →

2 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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1

Limite de x²

Niveau 1 · Application directe
Calculer lim_x→+∞ x².
Voir la correction
  1. 1.
    x² grandit sans limite.
    → Limites infinies usuelles
  2. 2.
    = +∞.
Réponse : +∞.
2

Limite de √x

Niveau 1 · Application directe
Calculer lim_x→+∞ √(x).
Voir la correction
  1. 1.
    La racine d'un grand nombre est grande.
    → Limites infinies usuelles
  2. 2.
    = +∞.
Réponse : +∞.
Faire les 10 exercices types sur limite infinie8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une limite infinie ?

C'est quand une fonction devient aussi grande (ou petite) qu'on veut : elle tend vers +∞ ou −∞, sans se stabiliser.

Comment trouver la limite d'un polynôme à l'infini ?

On regarde le terme de plus haut degré : c'est lui qui « gagne ». Pour x² − 5x, c'est x² qui impose +∞.

Quel lien avec l'asymptote verticale ?

Si la fonction tend vers ±∞ près d'une valeur a (souvent une division par presque 0), la droite x = a est asymptote verticale.

Que signifie une limite égale à +∞ ?

Que f(x) dépasse n'importe quelle valeur, aussi grande soit-elle, quand x tend vers la valeur considérée.

Comment trouver la limite d'un polynôme en +∞ ?

On regarde son terme de plus haut degré : il impose la limite. Par exemple 2x³ − 5x tend vers +∞ car 2x³ domine.

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