Notion

La fonction homographique

Une fonction homographique est une fonction de la forme $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ f(x)=(ax+b)/(cx+d) avec $c \neq = 0$ c≠0, c'est-à-dire un quotient de deux fonctions affines. Elle est définie partout sauf en la valeur qui annule le dénominateur, $x = - \frac{d}{c}$ x=-d/c, où elle admet une asymptote verticale. En $\pm \infty$ ±∞, elle tend vers $\frac{a}{c}$ a/c, ce qui donne une asymptote horizontale. Sa courbe est une hyperbole. On peut souvent l'écrire sous la forme « constante $+ \frac{k}{c x + d}$ +k/(cx+d) » pour lire directement ses asymptotes et ses variations. Les fonctions homographiques sont un exemple classique d'étude de limites et d'asymptotes en terminale, et modélisent des situations de proportionnalité inverse.

Définitions

Fonction homographique: C'est un quotient de deux fonctions affines : $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ f(x) = (ax+b)/(cx+d) avec $c \neq = 0$ c ≠ 0 (et $a d - b c \neq = 0$ ad - bc ≠ 0 pour qu'elle ne soit pas constante).
Valeur interdite: C'est la valeur qui annule le dénominateur : $x = - \frac{d}{c}$ x = -d/c. La fonction n'y est pas définie ; c'est là que se trouve l'asymptote verticale.

Formules

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Domaine et asymptotes →

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}, x \neq = - \frac{d}{c}

f(x) = (ax+b)/(cx+d), x ≠ -d/cAsymptote verticale x = −d/c, horizontale y = a/c.

Méthodes

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Étudier une fonction homographique →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Valeur interdite

Niveau 1 · Application directe

Donner la valeur interdite de

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}

f(x) = (2x+1)/(x-3).

Voir la correction

1.
$x - 3 = 0 ⟺ x = 3$ x - 3 = 0 ⇔ x = 3.
→ Domaine et asymptotes

Réponse :

x = 3

x = 3.

Méthode utilisée : La valeur interdite annule le dénominateur.

Domaine

Niveau 1 · Application directe

Donner le domaine de

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}

f(x) = (2x+1)/(x-3).

Voir la correction

1.
$x \neq = 3$ x ≠ 3.
→ Domaine et asymptotes
2.
$D_{f} = R ∖ {3}$ D _f = ℝ\{3}.

Réponse :

R ∖ {3}

ℝ\{3}.

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Questions fréquentes

C'est quoi une fonction homographique ?

C'est une fraction de deux expressions du premier degré, comme (2x+1)/(x−3). Sa courbe est une hyperbole.

C'est quoi la valeur interdite ?

C'est la valeur de x qui annule le dénominateur : la fonction n'existe pas là. Pour (2x+1)/(x−3), c'est 3.

Comment trouver les asymptotes ?

L'asymptote verticale est à la valeur interdite (x = −d/c). L'asymptote horizontale est y = a/c (rapport des coefficients de x).

À quoi ça sert ?

À modéliser des phénomènes qui tendent vers une valeur limite : concentration d'un mélange, vitesse moyenne, coût unitaire qui se stabilise.

Quelle est la forme d'une fonction homographique ?

f(x) = (ax + b)/(cx + d) avec c ≠ 0. Sa courbe est une hyperbole avec une asymptote verticale et une asymptote horizontale.

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