Ce que dit la formule
On calcule la limite de f(x) quand x → +∞ (et -∞). Si elle vaut une valeur finie ℓ, la droite y = ℓ est asymptote horizontale.
Pour un quotient de polynômes de même degré, ℓ est le rapport des coefficients dominants.
Une asymptote horizontale décrit un comportement au loin : la courbe se rapproche indéfiniment de la droite y = ℓ, sans obligation de l'atteindre ni interdiction de la couper.
Elle n'existe que si la limite est finie. Une fonction qui tend vers ±∞ n'en admet pas, ce qui est le cas de tous les polynômes non constants.
Exemple
f(x) = 1/x → 0 : asymptote horizontale y = 0. f(x) = 2 + 1/x → 2 : y = 2.
Deuxième exemple
f(x) = (2x-1)/(x+3) : numérateur et dénominateur sont de degré 1, la limite est donc le rapport des coefficients dominants, 2/1 = 2. La droite y = 2 est asymptote horizontale.
Piège à éviter
Il faut une limite finie : si f → ±∞, il n'y a pas d'asymptote horizontale.
Questions fréquentes
Asymptote horizontale et limite finie, est-ce la même chose ?
Ce sont deux formulations du même fait : l'une décrit la fonction, l'autre la droite dont la courbe se rapproche.
Une fonction sans limite finie peut-elle avoir une asymptote horizontale ?
Non. Si f tend vers ±∞ ou n'a pas de limite, il n'y a pas d'asymptote horizontale de ce côté.
L'asymptote décrit-elle la courbe partout ?
Non, seulement son comportement au loin. Près de l'origine, la courbe peut s'en écarter considérablement.
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