La base d'un espace vectoriel — exercices types corrigés

1. 1.
   Avec $e_1=(1,0,0)$e₁ = (1, 0, 0), $e_2=(0,1,0)$e₂ = (0, 1, 0) et $e_3=(0,0,1)$e₃ = (0, 0, 1), on a $u=4e_1-e_2+7e_3$u = 4e₁ - e₂ + 7e₃.

   → Coordonnées dans une base
2. 2.
   Les coordonnées sont les coefficients : $(4,-1,7)$(4, -1, 7).

1. 1.
   $(3,6)=3(1,2)$(3, 6) = 3 (1, 2) : les deux vecteurs sont colinéaires.
2. 2.
   On a $3(1,2)-(3,6)=(0,0)$3 (1, 2) - (3, 6) = (0, 0) avec des coefficients non nuls : la famille est liée.

1. 1.
   Deux vecteurs dans ${\mathbb{R}}^2$ℝ², de dimension $2$2 : il suffit qu'ils soient libres.

   → Critère de base en dimension n
2. 2.
   $\det (u,v)=2\times 3-1\times 1=5\ne 0$det(u, v) = 2 × 3 - 1 × 1 = 5 ≠ 0 : ils ne sont pas colinéaires, donc libres.
3. 3.
   C'est une base de ${\mathbb{R}}^2$ℝ².

1. 1.
   On cherche $a$a et $b$b tels que $au+bv=w$a u + b v = w : $2a+b=5$2a + b = 5 et $a+3b=5$a + 3b = 5.

   → Coordonnées dans une base
2. 2.
   De la première équation, $b=5-2a$b = 5 - 2a ; alors $a+3(5-2a)=5$a + 3(5 - 2a) = 5, soit $-5a=-10$-5a = -10, donc $a=2$a = 2 et $b=1$b = 1.
3. 3.
   Vérification : $2(2,1)+(1,3)=(5,5)$2 (2, 1) + (1, 3) = (5, 5).

Erreur fréquente : Les coordonnées de $w$w dans la base $(u,v)$(u, v) ne sont pas $(5,5)$(5, 5) : ce sont ses composantes dans la base canonique.

1. 1.
   On résout $au+bv+cw=0$a u + b v + c w = 0 : $a+c=0$a + c = 0, $b+c=0$b + c = 0 et $a+b=0$a + b = 0.
2. 2.
   Les deux premières équations donnent $a=b=-c$a = b = -c ; la troisième donne alors $-2c=0$-2c = 0, donc $c=0$c = 0, puis $a=b=0$a = b = 0.
3. 3.
   La famille est libre ; trois vecteurs libres dans ${\mathbb{R}}^3$ℝ³, de dimension $3$3, forment une base.

   → Critère de base en dimension n

1. 1.
   On remarque que $v-u=(3,3,3)$v - u = (3, 3, 3) et $w-v=(3,3,3)$w - v = (3, 3, 3).
2. 2.
   Donc $w-v=v-u$w - v = v - u, c'est-à-dire $u-2v+w=0$u - 2v + w = 0 : une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls.
3. 3.
   La famille est liée ; une famille liée n'est pas une base.

Méthode utilisée : Avant de résoudre un système, chercher une relation simple entre les vecteurs (ici, des différences égales).

1. 1.
   Elle contient la base canonique $((1,0),(0,1))$((1, 0), (0, 1)), donc elle engendre ${\mathbb{R}}^2$ℝ².
2. 2.
   Mais $(1,1)=(1,0)+(0,1)$(1, 1) = (1, 0) + (0, 1) : elle est liée.
3. 3.
   Trois vecteurs dans un espace de dimension $2$2 ne peuvent pas être libres : ce n'est pas une base.

   → Critère de base en dimension n

1. 1.
   L'équation donne $z=x+y$z = x + y, avec $x$x et $y$y libres.
2. 2.
   Tout vecteur de $F$F s'écrit $(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)$(x, y, x + y) = x (1, 0, 1) + y (0, 1, 1).
3. 3.
   La famille $((1,0,1),(0,1,1))$((1, 0, 1), (0, 1, 1)) engendre $F$F ; elle est libre car ses deux vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs deux premières coordonnées le montrent).

1. 1.
   La première équation donne $y=x$y = x, la seconde $z=-y=-x$z = -y = -x : seule $x$x reste libre.
2. 2.
   Tout vecteur de $G$G s'écrit $(x,x,-x)=x(1,1,-1)$(x, x, -x) = x (1, 1, -1).
3. 3.
   Le vecteur $(1,1,-1)$(1, 1, -1) est non nul, donc la famille qu'il forme est libre.

Méthode utilisée : Deux équations indépendantes dans ${\mathbb{R}}^3$ℝ³ : la dimension vaut $3-2=1$3 - 2 = 1.

1. 1.
   Les trois polynômes sont de degrés $0$0, $1$1 et $2$2 : une famille de polynômes de degrés deux à deux distincts est libre.
2. 2.
   Trois vecteurs libres dans ${\mathbb{R}}_2[X]$ℝ₂[X], de dimension $3$3 : c'est une base.

   → Critère de base en dimension n
3. 3.
   $X^2=((X-1)+1{)}^2=(X-1{)}^2+2(X-1)+1$X² = ((X - 1) + 1)² = (X - 1)² + 2(X - 1) + 1.

   → Coordonnées dans une base

Erreur fréquente : La dimension de ${\mathbb{R}}_2[X]$ℝ₂[X] est $3$3, pas $2$2 : il ne faut pas oublier le polynôme constant $1$1.

1. 1.
   $A$A et $B$B ne sont pas colinéaires : $(A,B)$(A, B) est libre, donc une base de $\text{Vect}(A,B)$Vect (A, B).
2. 2.
   On cherche $a$a et $b$b avec $aA+bB=(7,5,8)$a A + b B = (7, 5, 8) : $2a+b=7$2a + b = 7, $a+b=5$a + b = 5 et $a+2b=8$a + 2b = 8.
3. 3.
   Les deux premières équations donnent $a=2$a = 2 et $b=3$b = 3 ; la troisième est vérifiée : $2+2\times 3=8$2 + 2 × 3 = 8.

   → Coordonnées dans une base

Erreur fréquente : Deux équations suffisent à trouver $a$a et $b$b, mais il faut vérifier la troisième : si elle était fausse, la commande ne serait pas réalisable.

1. 1.
   Deux vecteurs de ${\mathbb{R}}^2$ℝ² forment une base si et seulement si leur déterminant est non nul.

   → Critère de base en dimension n
2. 2.
   $\det =1\times 4-m\times m=4-m^2$det = 1 × 4 - m × m = 4 - m².
3. 3.
   $4-m^2=0⟺m^2=4⟺m=2\text{ ou }m=-2$4 - m² = 0 ⇔ m² = 4 ⇔ m = 2 ou m = -2.

Erreur fréquente : Oublier la valeur $m=-2$m = -2 : l'équation $m^2=4$m² = 4 a deux solutions.