Critère de base en dimension n : la formule et un exemple

En écriture simple : Si dim E = n et si la famille B compte n vecteurs : B libre ⇔ B génératrice ⇔ B base

Ce que dit la formule

Dans un espace de dimension $n$ n, une famille libre a au plus $n$ n vecteurs et une famille génératrice en a au moins $n$ n. Une base est exactement entre les deux.

Conséquence : si la famille a exactement $n$ n vecteurs, il suffit de vérifier une seule des deux propriétés. On choisit la plus simple, presque toujours la liberté.

Pour $n$ n vecteurs de $R^{n}$ ℝⁿ, le critère se traduit aussi par un déterminant : la famille est une base si et seulement si le déterminant de leurs coordonnées est non nul.

À l'inverse, une famille de plus de $n$ n vecteurs est toujours liée, et une famille de moins de $n$ n vecteurs n'est jamais génératrice : ni l'une ni l'autre ne peut être une base.

Exemple

u = (2, 1)

u = (2, 1) et

v = (1, 3)

v = (1, 3) :

det (u, v) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5 \neq = 0

det(u, v) = 2 × 3 - 1 × 1 = 5 ≠ 0. Deux vecteurs libres dans

R^{2}

ℝ², de dimension

2

2 : c'est une base.

Deuxième exemple

Les vecteurs

(1, 0, 1)

(1, 0, 1),

(0, 1, 1)

(0, 1, 1) et

(1, 1, 0)

(1, 1, 0) sont libres, et

dim R^{3} = 3

dim ℝ³ = 3 : ils forment une base de

R^{3}

ℝ³, sans qu'il soit nécessaire de prouver qu'ils engendrent

R^{3}

ℝ³.

Piège à éviter

Le critère exige de connaître la dimension et d'avoir exactement

n

n vecteurs. Trois vecteurs libres de

R^{4}

ℝ⁴ ne forment pas une base de

R^{4}

ℝ⁴.

Les autres formules de la base d'un espace vectoriel

Coordonnées dans une base →

x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n}

x = x₁ e₁ + x₂ e₂ + … + xₙ eₙ

Questions fréquentes

Pourquoi suffit-il de vérifier la liberté en dimension n ?

Une famille libre se complète toujours en une base (théorème de la base incomplète). Si elle a déjà

n

n vecteurs, il n'y a rien à ajouter : c'est une base.

Que dire d'une famille de plus de n vecteurs ?

Elle est forcément liée. Par exemple, trois vecteurs de

R^{2}

ℝ² vérifient toujours une relation linéaire à coefficients non tous nuls.

Le critère fonctionne-t-il en dimension infinie ?

Non. Dans

R [X]

ℝ[X], qui n'a pas de base finie, on ne peut pas compter les vecteurs : il faut vérifier séparément la liberté et le caractère générateur.

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