Le déterminant condense en un seul nombre trois questions : cette famille est-elle une base, cette matrice est-elle inversible, et quel volume l'image du cube unité occupe-t-elle ?
Au programme : déterminant d'ordre 2 et 3 (règle de Sarrus), développement suivant une ligne ou une colonne à l'aide des cofacteurs, effet des opérations élémentaires, déterminant de la transposée, d'un produit det(AB)=det A×det B et d'une matrice triangulaire, égal au produit des coefficients diagonaux.
Applications : critère d'inversibilité det A≠ 0, formules de Cramer, caractérisation des familles libres, interprétation en aire et en volume orientés. Pièges classiques : croire que det(A+B)=det A+det B, et oublier le facteur λⁿ dans det(λ A)=λⁿdet A pour une matrice d'ordre n.