Ce chapitre fonde l'algèbre linéaire abstraite, qui dépasse le cadre des matrices et des vecteurs du plan.
Au programme : espaces et sous-espaces vectoriels, combinaisons linéaires, familles libres, génératrices et bases, somme et somme directe, et théorie de la dimension en dimension finie (théorème de la base incomplète, formule de Grassmann). On raisonne sur des espaces de polynômes, de fonctions ou de matrices.
C'est le cadre unificateur de toute l'algèbre linéaire. Piège classique : affirmer qu'une famille est une base sans vérifier à la fois la liberté et le caractère générateur (ou la bonne dimension).