Coordonnées dans une base : la formule et un exemple

Q: Pourquoi les coordonnées dans une base sont-elles uniques ?

Si x avait deux écritures, leur différence serait une combinaison linéaire nulle des vecteurs de la base avec des coefficients non tous nuls, ce qui contredit la liberté de la famille.

En écriture simple : x = x₁e₁ + x₂e₂ + … + xₙeₙ, écriture unique dans la base (e₁, …, eₙ)

Ce que dit la formule

Si $(e_{1}, \dots, e_{n})$ (e₁, …, eₙ) est une base de $E$ E, tout vecteur $x$ x de $E$ E s'écrit comme combinaison linéaire des $e_{i}$ eᵢ (la famille est génératrice), et cette écriture est unique (la famille est libre).

Les coefficients $(x_{1}, \dots, x_{n})$ (x₁, …, xₙ) sont les coordonnées de $x$ x dans la base. Ils dépendent de la base choisie : un même vecteur a des coordonnées différentes dans deux bases différentes.

Dans la base canonique de $R^{n}$ ℝⁿ, les coordonnées d'un vecteur sont ses composantes : $(4, - 1, 7) = 4 e_{1} - e_{2} + 7 e_{3}$ (4, -1, 7) = 4e₁ - e₂ + 7e₃. Dans une autre base, il faut résoudre un système pour les trouver.

Une base est une famille ordonnée : échanger deux vecteurs de la base échange les coordonnées correspondantes.

Exemple

Dans la base

((2, 1), (1, 3))

((2, 1), (1, 3)) de

R^{2}

ℝ², le vecteur

(5, 5)

(5, 5) s'écrit

2 (2, 1) + 1 (1, 3)

2 (2, 1) + 1 (1, 3) : ses coordonnées sont

(2, 1)

(2, 1).

Deuxième exemple

Dans la base

(1, X - 1, (X - 1)^{2})

(1, X - 1, (X - 1)²) de

R_{2} [X]

ℝ₂[X], on a

X^{2} = (X - 1)^{2} + 2 (X - 1) + 1

X² = (X - 1)² + 2(X - 1) + 1 : les coordonnées de

X^{2}

X² sont

(1, 2, 1)

(1, 2, 1), alors qu'elles valent

(0, 0, 1)

(0, 0, 1) dans la base canonique

(1, X, X^{2})

(1, X, X²).

Piège à éviter

Les coordonnées d'un vecteur ne sont ses composantes que dans la base canonique. Dans une autre base, il faut les calculer.

Les autres formules de la base d'un espace vectoriel

Critère de base en dimension n →

dim E = n et B a n vecteurs : B libre ⟺ B g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} ratrice ⟺ B base

dim E = n et B a n vecteurs : B libre ⇔ B génératrice ⇔ B base

Questions fréquentes

Pourquoi les coordonnées dans une base sont-elles uniques ?

x

x avait deux écritures, leur différence serait une combinaison linéaire nulle des vecteurs de la base avec des coefficients non tous nuls, ce qui contredit la liberté de la famille.

Les coordonnées d'un vecteur changent-elles avec la base ?

Oui. Le vecteur

(5, 5)

(5, 5) a pour coordonnées

(5, 5)

(5, 5) dans la base canonique de

R^{2}

ℝ², mais

(2, 1)

(2, 1) dans la base

((2, 1), (1, 3))

((2, 1), (1, 3)).

L'ordre des vecteurs d'une base compte-t-il ?

Oui : une base est une famille ordonnée. Échanger deux vecteurs de la base échange les coordonnées correspondantes de chaque vecteur.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur algèbre linéaire après le bac

Du pivot de Gauss aux espaces vectoriels et aux déterminants : le programme d'algèbre linéaire de première année.

Le cours

Les notions du thème

Base d'un espace vectoriel

S'entraîner

Exercices types : base d'un espace vectoriel

Retrouve la notion complète : définitions, méthodes et exercices corrigés.

La base d'un espace vectoriel →