Notion

La base d'un espace vectoriel

Une base d'un espace vectoriel $E$ E est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice : tout vecteur de $E$ E s'écrit d'une seule façon comme combinaison linéaire des vecteurs de la base, et les coefficients de cette écriture sont ses coordonnées. Dans $R^{n}$ ℝⁿ, la base canonique $(e_{1}, \dots, e_{n})$ (e₁, …, eₙ) en est l'exemple type. Un espace vectoriel a une infinité de bases, mais en dimension finie elles ont toutes le même nombre de vecteurs : c'est la dimension de $E$ E. Ce résultat donne un critère très pratique : dans un espace de dimension $n$ n, une famille de $n$ n vecteurs est une base dès qu'elle est libre, ou dès qu'elle est génératrice. Pour le vérifier, on résout un système linéaire homogène ou on calcule un déterminant.

Définitions

Famille libre: La famille $(u_{1}, \dots, u_{p})$ (u₁, …, uₚ) est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls : $λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{p} u_{p} = 0 \Rightarrow λ_{1} = \dots = λ_{p} = 0$ λ₁ u₁ + … + λₚ uₚ = 0 ⇒ λ₁ = … = λₚ = 0. Aucun vecteur n'est alors combinaison linéaire des autres.
Famille génératrice: La famille $(u_{1}, \dots, u_{p})$ (u₁, …, uₚ) engendre $E$ E si tout vecteur de $E$ E est combinaison linéaire des $u_{i}$ uᵢ : $E = Vect (u_{1}, \dots, u_{p})$ E = Vect (u₁, …, uₚ).
Base et coordonnées: Une base est une famille libre et génératrice. Tout vecteur $x$ x s'écrit alors de manière unique $x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ x = x₁ e₁ + … + xₙ eₙ : les réels $x_{1}, \dots, x_{n}$ x₁, …, xₙ sont ses coordonnées dans la base.
Dimension: Si $E$ E admet une base finie, toutes ses bases ont le même nombre de vecteurs $n$ n : c'est la dimension de $E$ E, notée $dim E$ dim E. Ainsi $dim R^{n} = n$ dim ℝⁿ = n et $dim R_{n} [X] = n + 1$ dim ℝₙ[X] = n + 1.

Formules

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Coordonnées dans une base →

x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n}

x = x₁ e₁ + x₂ e₂ + … + xₙ eₙx = x₁e₁ + x₂e₂ + … + xₙeₙ, écriture unique dans la base (e₁, …, eₙ)Dans une base, chaque vecteur a une écriture unique : ses coordonnées.Critère de base en dimension n →

dim E = n et B a n vecteurs : B libre ⟺ B g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} ratrice ⟺ B base

dim E = n et B a n vecteurs : B libre ⇔ B génératrice ⇔ B baseSi dim E = n et si la famille B compte n vecteurs : B libre ⇔ B génératrice ⇔ B baseEn dimension n, une famille de n vecteurs libre (ou génératrice) est une base.

Méthodes

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Montrer qu'une famille est une base →

4 étapes · exemple corrigé

Trouver une base d'un sous-espace vectoriel →

4 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Coordonnées dans la base canonique

Niveau 1 · Application directe

Donner les coordonnées de

u = (4, - 1, 7)

u = (4, -1, 7) dans la base canonique

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

(e₁, e₂, e₃) de

R^{3}

ℝ³.

Voir la correction

1.
Avec $e_{1} = (1, 0, 0)$ e₁ = (1, 0, 0), $e_{2} = (0, 1, 0)$ e₂ = (0, 1, 0) et $e_{3} = (0, 0, 1)$ e₃ = (0, 0, 1), on a $u = 4 e_{1} - e_{2} + 7 e_{3}$ u = 4e₁ - e₂ + 7e₃.
→ Coordonnées dans une base
2.
Les coordonnées sont les coefficients : $(4, - 1, 7)$ (4, -1, 7).

Réponse :

(4, - 1, 7)

(4, -1, 7).

Deux vecteurs colinéaires

Niveau 1 · Application directe

La famille

((1, 2), (3, 6))

((1, 2), (3, 6)) est-elle libre dans

R^{2}

ℝ² ?

Voir la correction

1.
$(3, 6) = 3 (1, 2)$ (3, 6) = 3 (1, 2) : les deux vecteurs sont colinéaires.
2.
On a $3 (1, 2) - (3, 6) = (0, 0)$ 3 (1, 2) - (3, 6) = (0, 0) avec des coefficients non nuls : la famille est liée.

Réponse : Non, elle est liée.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une base d'un espace vectoriel ?

C'est une famille de vecteurs libre et génératrice : chaque vecteur de l'espace s'écrit d'une seule façon comme combinaison linéaire de ces vecteurs. Comme un système de coordonnées : une fois la base choisie, chaque vecteur est repéré par une liste unique de nombres.

Quelle est la base canonique de ℝⁿ ?

C'est la famille (e₁, …, eₙ) où eᵢ a un 1 en position i et des 0 ailleurs. Dans ℝ³ : e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1). Les coordonnées d'un vecteur dans cette base sont simplement ses composantes.

Quelle différence entre une famille libre et une famille génératrice ?

Une famille libre n'a pas de vecteur « en trop » : aucun n'est combinaison des autres. Une famille génératrice n'en manque pas : elle permet d'atteindre tout l'espace. Une base est les deux à la fois.

Qu'est-ce que la dimension d'un espace vectoriel ?

C'est le nombre de vecteurs d'une base. Il ne dépend pas de la base choisie : ℝ³ est de dimension 3, un plan vectoriel de dimension 2, une droite vectorielle de dimension 1, et l'espace des polynômes de degré au plus 2 de dimension 3.

Un espace vectoriel a-t-il une seule base ?

Non, il en a une infinité dès qu'il n'est pas réduit au vecteur nul : ((1, 0), (0, 1)) et ((1, 1), (1, −1)) sont deux bases de ℝ². En revanche, toutes ses bases ont le même nombre de vecteurs.

Comment montrer qu'une famille de vecteurs est une base ?

Si l'on connaît la dimension n de l'espace et que la famille a n vecteurs, il suffit de prouver qu'elle est libre : on écrit une combinaison linéaire nulle et on montre que tous les coefficients sont nuls. Dans ℝⁿ, on peut aussi vérifier que le déterminant des vecteurs est non nul.

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