Le pivot de Gauss est l'algorithme le plus rentable de l'année : il résout les systèmes, inverse les matrices, calcule un rang et fournit une base d'un sous-espace vectoriel.
Au programme : système linéaire de n équations à p inconnues, écriture matricielle AX=B, opérations élémentaires sur les lignes, mise sous forme échelonnée puis échelonnée réduite, inconnues principales et secondaires, description complète de l'ensemble des solutions.
On distingue système compatible ou non, système de Cramer à solution unique, et l'on relie le rang au nombre de pivots ; l'interprétation dans ℝ² et ℝ³ — intersections de droites et de plans — éclaire les trois cas possibles : aucune solution, une seule, une infinité. Piège classique : oublier qu'un système homogène admet toujours la solution nulle, et en admet d'autres dès qu'il y a plus d'inconnues que d'équations.