C'est le chapitre qui change la façon de penser : on ne calcule plus sur des objets particuliers mais sur une structure, valable pour les vecteurs de ℝⁿ comme pour les polynômes, les suites ou les fonctions.
Au programme : axiomes d'un K-espace vectoriel, sous-espaces vectoriels et critère de reconnaissance, intersection et somme, somme directe F⊕ G et sous-espaces supplémentaires, combinaisons linéaires et sous-espace engendré Vect (u₁,…,uₚ).
Puis la dimension finie : familles libres, familles génératrices, bases, théorème de la base incomplète, dimension, et la formule dim(F+G)=dim F+dim G-dim(F∩ G). Piège classique : « montrer » qu'une partie est un sous-espace sans vérifier qu'elle contient le vecteur nul — c'est le test qui élimine le plus vite les fausses pistes.