Une application linéaire respecte la structure : f(λ u+μ v)=λ f(u)+μ f(v). Tout le chapitre consiste à lire ses propriétés sur deux sous-espaces, le noyau et l'image.
Au programme : noyau ker f et image Im f, avec les équivalences « f injective si et seulement si ker f={0} » et « f surjective si et seulement si Im f est l'espace d'arrivée » ; théorème du rang dim E=dimker f+ rg f ; endomorphismes, isomorphismes, projecteurs et symétries.
Côté matriciel : matrice d'une application linéaire dans des bases données, composition qui devient produit de matrices, et changement de base A'=P⁻¹AP pour un endomorphisme. Piège classique : oublier que la matrice dépend des bases choisies — deux matrices semblables représentent la même application dans des bases différentes.