La dérivée d'une fonction composée — exercices types corrigés

1. 1.
   $u=3x+1$u = 3x+1, $u^{\prime }=3$u' = 3. $(u^2{)}^{\prime }=2u^{\prime }u$(u²)' = 2u'u.

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   $h^{\prime }(x)=6(3x+1)$h'(x) = 6(3x+1).

Méthode utilisée : $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)'=n u' uⁿ⁻¹.

Erreur fréquente : Oublier le facteur $u^{\prime }=3$u'=3.

1. 1.
   $u=2x-5$u = 2x-5, $u^{\prime }=2$u' = 2. $(u^3{)}^{\prime }=3u^{\prime }{u}^2$(u³)' = 3u'u².

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   $h^{\prime }(x)=6(2x-5{)}^2$h'(x) = 6(2x-5)².

1. 1.
   $u=2x+1$u = 2x+1, $u^{\prime }=2$u' = 2. $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$(√(u))' = u'/2√(u).

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   $h^{\prime }(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$h'(x) = 2/(2√(2x+1)) = 1/(√(2x+1)).

Méthode utilisée : $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$(√(u))'=u'/2√(u).

1. 1.
   $u=3x$u = 3x, $u^{\prime }=3$u' = 3. $({\mathrm{e}}^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$( e ^(u))' = u' e ^(u).

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   $h^{\prime }(x)=3{\mathrm{e}}^{3x}$h'(x) = 3 e ^(3x).

1. 1.
   $u=x^2+1$u = x²+1, $u^{\prime }=2x$u' = 2x. $(u^2{)}^{\prime }=2u^{\prime }u$(u²)' = 2u'u.

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   $h^{\prime }(x)=2\times 2x\times (x^2+1)=4x(x^2+1)$h'(x) = 2× 2x×(x²+1) = 4x(x²+1).

1. 1.
   $u=-x$u = -x, $u^{\prime }=-1$u' = -1.

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   $h^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}$h'(x) = - e ^(-x).

1. 1.
   Il faut multiplier par $u^{\prime }=5$u' = 5.

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   $((5x{)}^2{)}^{\prime }=2\times 5\times 5x=50x$((5x)²)' = 2× 5× 5x = 50x (et $(5x{)}^2=25x^2$(5x)² = 25x² donne bien $50x$50x).

1. 1.
   $u=x^2+1$u = x²+1, $u^{\prime }=2x$u' = 2x. $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$(√(u))' = u'/2√(u).

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   $h^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$h'(x) = 2x/(2√(x²+1)) = x/(√(x²+1)).

1. 1.
   $u=x+2$u = x+2, $u^{\prime }=1$u' = 1. $(u^4{)}^{\prime }=4u^{\prime }{u}^3$(u⁴)' = 4u'u³.

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   $h^{\prime }(x)=4(x+2{)}^3$h'(x) = 4(x+2)³.

1. 1.
   $A(t)=4\pi t^2$A(t) = 4π t², donc $A^{\prime }(t)=8\pi t$A'(t) = 8π t.

   → Règle de la chaîne
2. 2.
   Pour $t=1$t = 1 : $A^{\prime }(1)=8\pi \approx 25,1$A'(1) = 8π ≈ 25,1.