Formule · Terminale spé maths

Formule : Opérations sur les limites

Combiner les limites d'une somme, d'un produit ou d'un quotient.

lim (u_{n} + v_{n}) = lim u_{n} + lim v_{n} lim (u_{n} \times v_{n}) = lim u_{n} \times lim v_{n}

lim (uₙ + vₙ) = lim uₙ + lim vₙ lim (uₙ × vₙ) = lim uₙ × lim vₙ

Ce que dit la formule

Quand les limites existent, celle d'une somme est la somme des limites, celle d'un produit le produit des limites, et celle d'un quotient le quotient des limites (si le dénominateur ne tend pas vers $0$ 0).

Certaines combinaisons donnent des formes indéterminées — notamment $+ \infty - \infty$ +∞ - ∞, $\frac{\infty}{\infty}$ ∞/∞, $0 \times \infty$ 0 × ∞ et $\frac{0}{0}$ 0/0 — qu'il faut lever en transformant l'expression.

Exemple

u_{n} = 3 + \frac{1}{n}

uₙ = 3 + 1/n :

lim 3 = 3

lim 3 = 3 et

lim \frac{1}{n} = 0

lim 1/n = 0, donc

lim u_{n} = 3

lim uₙ = 3.

Piège à éviter

Devant une forme indéterminée (par exemple

\frac{\infty}{\infty}

∞/∞), on ne conclut jamais directement : il faut d'abord factoriser ou simplifier.

Les autres formules de la limite d'une suite

Limites des suites de référence →

n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0 n \to + \infty lim n = + \infty n \to + \infty lim n = + \infty

lim_n→+∞1/n = 0 lim_n→+∞ n = +∞ lim_n→+∞√(n) = +∞Limite d'une suite géométrique qⁿ →

n \to + \infty lim q^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 01 + \infty si - 1 < q < 1 si q = 1 si q > 1

lim_n→+∞ q^(n) = 0 & si -1 < q < 1 ; 1 & si q = 1 ; +∞ & si q > 1

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