Limite d'une suite géométrique qⁿ : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Pour une suite géométrique $q^{n}$ qⁿ : si $- 1 < q < 1$ -1 < q < 1, elle tend vers $0$ 0 ; si $q = 1$ q = 1, elle reste égale à $1$ 1 ; si $q > 1$ q > 1, elle tend vers $+ \infty$ +∞.

Si $q \leq - 1$ q ≤ -1, la suite n'a pas de limite (elle change de signe sans se stabiliser).

Exemple

lim_{n \to + \infty} 0, 5^{n} = 0

lim_n→+∞ 0,5ⁿ = 0 (car

0 < 0, 5 < 1

0 < 0,5 < 1) ;

lim_{n \to + \infty} 2^{n} = + \infty

lim_n→+∞ 2ⁿ = +∞ (car

2 > 1

2 > 1).

Piège à éviter

Tout se joue sur la position de

q

q par rapport à

1

1 (et à

- 1

-1) : une raison entre

0

0 et

1

1 fait tendre vers

0

0, pas vers l'infini.

Les autres formules de la limite d'une suite

Opérations sur les limites →

lim (u_{n} + v_{n}) = lim u_{n} + lim v_{n} lim (u_{n} \times v_{n}) = lim u_{n} \times lim v_{n}

lim (uₙ + vₙ) = lim uₙ + lim vₙ lim (uₙ × vₙ) = lim uₙ × lim vₙ Limites des suites de référence →

n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0 n \to + \infty lim n = + \infty n \to + \infty lim n = + \infty

lim_n→+∞1/n = 0 lim_n→+∞ n = +∞ lim_n→+∞√(n) = +∞

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