Asymptote verticale : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On repère les valeurs interdites (dénominateur nul). Si la fonction tend vers $\pm \infty$ ±∞ en s'en approchant, la droite $x = a$ x = a est asymptote verticale.

C'est une droite verticale, d'équation $x = a$ x = a.

On cherche les asymptotes verticales là où la fonction n'est pas définie : dénominateur qui s'annule, logarithme dont l'argument tend vers $0$ 0. Une valeur interdite ne suffit pas, encore faut-il que la limite y soit infinie.

Les limites à gauche et à droite peuvent différer en signe : la courbe part vers $- \infty$ -∞ d'un côté et vers $+ \infty$ +∞ de l'autre, en longeant la droite $x = a$ x = a.

Exemple

f (x) = \frac{1}{x - 2}

f(x) = 1/(x-2) : en

2

f \to \pm \infty

f → ±∞, asymptote verticale

x = 2

x = 2.

Deuxième exemple

f (x) = ln x

f(x) = ln x :

lim_{x \to 0^{+}} ln x = - \infty

lim_x→ 0⁺ ln x = -∞, donc l'axe des ordonnées, d'équation

x = 0

x = 0, est asymptote verticale à la courbe.

Piège à éviter

L'équation d'une asymptote verticale est

x = a

x = a (pas

y = a

y = a).

Questions fréquentes

Une valeur interdite donne-t-elle toujours une asymptote verticale ?

Non. Pour

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

f(x) = (x²-1)/(x-1), la valeur

1

1 est interdite, mais

f (x) = x + 1

f(x) = x+1 ailleurs : la limite en

1

1 vaut

2

2, il n'y a pas d'asymptote.

La courbe peut-elle couper une asymptote verticale ?

Non : en

x = a

x = a la fonction n'est pas définie, aucun point de la courbe ne se trouve sur cette droite.

Comment savoir si la limite vaut plus ou moins l'infini ?

En étudiant le signe du dénominateur de part et d'autre de

a

a. Pour

\frac{1}{x - 2}

1/(x-2), il est négatif à gauche de

2

2 et positif à droite : la limite vaut

- \infty

-∞ puis

+ \infty

+∞.

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