Position par rapport aux tangentes et aux cordes : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Si $f$ f est convexe sur un intervalle, sa courbe reste au-dessus de chacune de ses tangentes et en dessous de ses cordes ; si $f$ f est concave, c'est l'inverse.

Cette propriété fournit des inégalités classiques, comme $e^{x} \geq x + 1$ e^(x)≥ x+1 (tangente en $0$ 0) ou $ln x \leq x - 1$ ln x≤ x-1.

Cette propriété transforme la convexité en outil de démonstration : pour prouver une inégalité du type $f (x) \geq g (x)$ f(x) ≥ g(x) où $g$ g est une tangente, il suffit d'établir la convexité de $f$ f.

La lecture par les cordes est le pendant de celle par les tangentes : convexe, la courbe passe sous ses cordes ; concave, elle passe au-dessus.

Exemple

f (x) = x^{2}

f(x)=x² est convexe : sa courbe reste au-dessus de sa tangente

y = 2 x - 1

y=2x-1 au point d'abscisse

1

1, car

x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} \geq 0

x²-(2x-1)=(x-1)²≥0.

Deuxième exemple

f (x) = e^{x}

f(x) = e^(x) est convexe sur

R

ℝ, donc sa courbe reste au-dessus de sa tangente en

0

0, d'équation

y = x + 1

y = x + 1. On en déduit l'inégalité classique

e^{x} \geq x + 1

e^(x) ≥ x + 1 pour tout réel

x

Piège à éviter

Convexe ne veut pas dire croissante :

x^{2}

x² est convexe mais décroissante sur

] - \infty; 0]

]-∞ ;0].

Les autres formules de la convexité

Convexité et dérivée seconde →

f^{''} \geq 0 \Rightarrow f convexe f^{''} \leq 0 \Rightarrow f concave

f'' ≥ 0 ⇒ f convexe f'' ≤ 0 ⇒ f concave

Questions fréquentes

Comment démontrer une inégalité avec la convexité ?

On établit que

f

f est convexe, puis on écrit la tangente en un point bien choisi : la courbe restant au-dessus, l'inégalité en découle.

La courbe touche-t-elle sa tangente ?

Oui, exactement au point de tangence, où les deux coïncident. Ailleurs, elle reste strictement au-dessus si la convexité est stricte.

Que devient la propriété pour une fonction concave ?

Tout s'inverse : la courbe passe sous ses tangentes et au-dessus de ses cordes. C'est ainsi qu'on obtient

ln x \leq x - 1

ln x ≤ x - 1.

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