Limites finies usuelles : la formule et un exemple

Q: La fonction inverse atteint-elle 0 ?

Non. Pour tout x, 1/x est différent de 0 : c'est une limite, pas une valeur prise par la fonction.

Ce que dit la formule

Les fonctions $\frac{1}{x}$ 1/x, $\frac{1}{x ^{2}}$ 1/x², $\frac{1}{x}$ 1/√(x) tendent vers $0$ 0 à l'infini. On les utilise pour calculer des limites de quotients.

Une limite finie $ℓ$ ℓ à l'infini correspond à une asymptote horizontale $y = ℓ$ y = ℓ.

Ces limites de référence viennent toutes du même constat : quand $x$ x devient très grand, son inverse devient très petit. Elles servent de briques élémentaires à tous les calculs de limites de quotients.

Plus la puissance au dénominateur est grande, plus la convergence est rapide, mais la limite reste $0$ 0 dans tous les cas.

Exemple

lim_{x \to + \infty} (3 + \frac{1}{x}) = 3

lim_x→+∞(3 + 1/x) = 3.

Deuxième exemple

lim_{x \to + \infty} \frac{4 x ^{2} - 3}{2 x ^{2} + x}

lim_x→+∞(4x²-3)/(2x²+x) : on factorise par

x^{2}

x², ce qui donne

\frac{4 - \frac{3}{x ^{2}}}{2 + \frac{1}{x}}

(4 - 3/x²)/(2 + 1/x). Les termes en

\frac{1}{x}

1/x et

\frac{1}{x ^{2}}

1/x² tendent vers

0

0, la limite vaut

\frac{4}{2} = 2

4/2 = 2.

Piège à éviter

\frac{1}{x} \to 0

1/x → 0 mais ne vaut jamais

0

0 : c'est une limite, pas une valeur atteinte.

Questions fréquentes

Que vaut la limite de 1 sur x en moins l'infini ?

0

0 également, mais en s'approchant par valeurs négatives : la courbe longe l'axe des abscisses par en dessous.

Une limite finie signifie-t-elle une asymptote horizontale ?

Oui : si

lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ

lim_x→+∞ f(x) = ℓ, la droite d'équation

y = ℓ

y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe.

La fonction inverse atteint-elle 0 ?

Non. Pour tout

x

\frac{1}{x}

1/x est différent de

0

0 : c'est une limite, pas une valeur prise par la fonction.

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