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Formule · Terminale spé maths

Formule : Caractérisation par la dérivée seconde

En un point d'inflexion, f'' s'annule en changeant de signe.

f''(x₀)=0 et f'' change de signe en x₀

Ce que dit la formule

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité (de convexe à concave, ou l'inverse) : la dérivée seconde f'' y change de signe.

En ce point, la courbe traverse sa tangente, ce qui distingue un point d'inflexion d'un simple extremum.

La caractérisation est en deux volets, et le second est celui qu'on oublie : l'annulation seule ne suffit pas, il faut le changement de signe. C'est exactement le parallèle du critère d'extremum, un étage plus haut.

Le point d'inflexion est le seul endroit où la courbe traverse sa tangente. Partout ailleurs, elle reste du même côté, au-dessus si la fonction est convexe, en dessous si elle est concave.

Exemple

Pour f(x)=x³, f''(x)=6x s'annule et change de signe en 0 : l'origine est un point d'inflexion.

Deuxième exemple

f(x) = x⁴ - 6x² : f''(x) = 12(x²-1) s'annule en -1 et 1 en changeant de signe à chaque fois. La courbe présente donc deux points d'inflexion.

Piège à éviter

f''(x₀)=0 ne suffit pas : il faut un changement de signe. Ainsi x⁴ vérifie f''(0)=0 sans point d'inflexion.

Les autres formules de le point d'inflexion

Condition d'inflexion →f'' s'annule en changeant de signe en x₀

Questions fréquentes

Pourquoi l'annulation de f'' ne suffit-elle pas ?
Parce que f'' peut toucher zéro sans le traverser. Pour f(x) = x⁴, f''(x) = 12x² s'annule en 0 mais reste positive : la courbe demeure convexe.
Quel est le parallèle avec les extremums ?
Le même mécanisme, un étage plus haut : f' qui change de signe donne un extremum de f, f'' qui change de signe donne une inflexion.
Un point d'inflexion est-il un maximum ou un minimum ?
Ni l'un ni l'autre : c'est un changement de courbure, pas un changement de sens de variation. La fonction peut continuer de croître en le franchissant.

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