Comment composer des fonctions ? Méthode et exemples

Q: Faut-il mettre des parenthèses en remplaçant ?

Impérativement : g(f(x)) avec g(x) = x2 donne (2x-1)2, et non 2x-12. L'oubli des parenthèses fausse tout le calcul.

Les étapes

1
Calculer f(x)
La fonction intérieure agit d'abord.
2
Appliquer g
On remplace la variable de $g$ g par $f (x)$ f(x).

Exemple corrigé

Pour $f (x) = x + 1$ f(x) = x + 1 et $g (x) = x^{2}$ g(x) = x², calculer $(g \circ f) (x)$ (g ∘ f)(x).

1. $f (x) = x + 1$ f(x) = x + 1.
2. $(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (f (x))^{2} = (x + 1)^{2}$ (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (f(x))² = (x+1)².

Résultat :

(x + 1)^{2}

(x+1)².

Deuxième exemple

Pour $f (x) = 2 x - 1$ f(x) = 2x - 1 et $g (x) = x^{2} + 3$ g(x) = x² + 3, calculer $(g \circ f) (x)$ (g ∘ f)(x) puis $(g \circ f) (2)$ (g ∘ f)(2).

1. $(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (2 x - 1)^{2} + 3$ (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (2x-1)² + 3.
2.En développant : $4 x^{2} - 4 x + 1 + 3 = 4 x^{2} - 4 x + 4$ 4x² - 4x + 1 + 3 = 4x² - 4x + 4.
3.Pour $x = 2$ x = 2 : $f (2) = 3$ f(2) = 3, puis $g (3) = 9 + 3 = 12$ g(3) = 9 + 3 = 12.

Résultat :

(g \circ f) (x) = 4 x^{2} - 4 x + 4

(g ∘ f)(x) = 4x² - 4x + 4 et

(g \circ f) (2) = 12

(g ∘ f)(2) = 12.

Piège à éviter

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = x^{2} + 1

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = x² + 1 : c'est différent de

(g \circ f) (x)

(g ∘ f)(x).

Questions fréquentes

Faut-il mettre des parenthèses en remplaçant ?

Impérativement :

g (f (x))

g(f(x)) avec

g (x) = x^{2}

g(x) = x² donne

(2 x - 1)^{2}

(2x-1)², et non

2 x - 1^{2}

2x-1². L'oubli des parenthèses fausse tout le calcul.

Vaut-il mieux développer ou garder la forme composée ?

Cela dépend de la suite : pour dériver, la forme composée est plus commode ; pour identifier un trinôme, la forme développée l'est davantage.

Comment calculer une image sans passer par l'expression générale ?

En enchaînant deux calculs numériques :

f (2) = 3

f(2) = 3, puis

g (3) = 12

g(3) = 12. C'est souvent plus rapide qu'une composition symbolique.

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