Comment tracer l'image d'une figure par homothétie ? Méthode et exemples

Q: Faut-il construire l'image de tous les points de la figure ?

Non, seulement celle des sommets. L'homothétie conserve l'alignement : l'image d'un segment est le segment qui relie les images de ses extrémités.

Q: Comment vérifier sa construction ?

Chaque côté de la figure image doit être parallèle au côté correspondant de la figure de départ, et sa longueur multipliée par |k|. Un côté qui n'est pas parallèle trahit une image mal placée.

Q: Comment construire l'image d'un cercle par homothétie ?

On construit l'image de son centre, puis on trace le cercle de rayon |k| × r. Un cercle de rayon 2 cm et une homothétie de rapport 3 donnent un cercle de rayon 6 cm.

Les étapes

1
Tracer les droites depuis le centre
Pour chaque sommet $A$ A de la figure, on trace la droite $(O A)$ (OA).
2
Mesurer et multiplier
On mesure $O A$ OA et on calcule $O A^{'} = ∣ k ∣ \times O A$ OA' = |k| × OA.
3
Placer l'image du bon côté
Si $k > 0$ k>0, $A^{'}$ A' est sur la demi-droite $[O A)$ [OA) ; si $k < 0$ k<0, il est de l'autre côté de $O$ O.
4
Relier les images
On relie les points images dans le même ordre que les sommets de départ.

Exemple corrigé

Construire l'image du triangle $A B C$ ABC par l'homothétie de centre $O$ O et de rapport $2$ 2, sachant que $O A = 1, 5$ OA = 1,5 cm, $O B = 2$ OB = 2 cm et $O C = 2, 5$ OC = 2,5 cm.

1. $k = 2 > 0$ k = 2 > 0 : les images sont sur les demi-droites $[O A)$ [OA), $[O B)$ [OB) et $[O C)$ [OC).
2. $O A^{'} = 2 \times 1, 5 = 3$ OA' = 2 × 1,5 = 3 cm, $O B^{'} = 2 \times 2 = 4$ OB' = 2 × 2 = 4 cm et $O C^{'} = 2 \times 2, 5 = 5$ OC' = 2 × 2,5 = 5 cm.
3.On relie $A^{'}$ A', $B^{'}$ B' et $C^{'}$ C' : chaque côté de $A^{'} B^{'} C^{'}$ A'B'C' est deux fois plus long que le côté correspondant de $A B C$ ABC.

Résultat :

A^{'} B^{'} C^{'}

A'B'C' est un agrandissement de

A B C

ABC de coefficient

2

Deuxième exemple

Placer l'image $M^{'}$ M' du point $M$ M par l'homothétie de centre $O$ O et de rapport $- 1, 5$ -1,5, avec $O M = 4$ OM = 4 cm.

1. $k < 0$ k<0 : $M^{'}$ M' est sur la droite $(O M)$ (OM), de l'autre côté de $O$ O par rapport à $M$ M.
2. $O M^{'} = 1, 5 \times 4 = 6$ OM' = 1,5 × 4 = 6 cm.
3.On prolonge le segment $[M O]$ [MO] au-delà de $O$ O et on place $M^{'}$ M' à $6$ 6 cm de $O$ O.

Résultat :

M^{'}

M' est à

6

6 cm de

O

O, à l'opposé de

M

Piège à éviter

Avec un rapport négatif, l'image n'est pas sur la demi-droite

[O M)

[OM) : on la place de l'autre côté du centre.

Questions fréquentes

Faut-il construire l'image de tous les points de la figure ?

Non, seulement celle des sommets. L'homothétie conserve l'alignement : l'image d'un segment est le segment qui relie les images de ses extrémités.

Comment vérifier sa construction ?

Chaque côté de la figure image doit être parallèle au côté correspondant de la figure de départ, et sa longueur multipliée par

∣ k ∣

|k|. Un côté qui n'est pas parallèle trahit une image mal placée.

Comment construire l'image d'un cercle par homothétie ?

On construit l'image de son centre, puis on trace le cercle de rayon

∣ k ∣ \times r

|k| × r. Un cercle de rayon

2

2 cm et une homothétie de rapport

3

3 donnent un cercle de rayon

6

6 cm.

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