Notion

Les droites parallèles

Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ont la même direction et ne se coupent jamais, ou bien sont confondues. Dans un repère, cela se lit directement sur les coefficients directeurs : deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, $m = m^{'}$ m=m'. Deux droites verticales sont elles aussi parallèles entre elles. Si, en plus du coefficient directeur, les ordonnées à l'origine sont égales, les droites sont confondues. On utilise le parallélisme pour reconnaître un parallélogramme, tracer la parallèle à une droite passant par un point, ou étudier la position relative de deux droites : parallèles, sécantes ou confondues.

Définitions

Droites parallèles: Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction. Elles peuvent être strictement parallèles (jamais de point commun) ou confondues (la même droite).
Parallèles ou confondues: Même coefficient directeur $m = m^{'}$ m=m' mais ordonnées à l'origine différentes : droites strictement parallèles. Mêmes $m$ m et même ordonnée à l'origine : droites confondues.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Condition de parallélisme →

m = m^{'} (r \overset{e}{ˊ} duite) x y^{'} - y x^{'} = 0 (directeurs)

m = m' (réduite) x y' - y x' = 0 (directeurs)Mêmes coefficients directeurs, ou vecteurs directeurs colinéaires.

Méthodes

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Démontrer que deux droites sont parallèles →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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En forme réduite

Niveau 1 · Application directe

Les droites

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 et

y = 2 x - 3

y = 2x - 3 sont-elles parallèles ?

Voir la correction

1.
Coefficients directeurs : $2$ 2 et $2$ 2, égaux.
→ Condition de parallélisme
2.
Elles sont parallèles (et strictement, car $p$ p diffère).

Réponse : Oui, strictement parallèles.

Non parallèles

Niveau 1 · Application directe

Les droites

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 et

y = 3 x + 1

y = 3x + 1 sont-elles parallèles ?

Voir la correction

1.
Coefficients directeurs : $2$ 2 et $3$ 3, différents.
→ Condition de parallélisme
2.
Elles ne sont pas parallèles : elles sont sécantes.

Réponse : Non (coefficients directeurs différents).

Erreur fréquente : Comparer les ordonnées à l'origine au lieu des coefficients directeurs.

Faire les 10 exercices types sur droites parallèles8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Quand deux droites sont-elles parallèles ?

Quand elles ont la même direction. Avec les équations réduites, cela se voit au coefficient directeur : elles sont parallèles si m = m'.

Différence entre strictement parallèles et confondues ?

Strictement parallèles : même pente mais pas la même droite (jamais de point commun). Confondues : même pente ET même ordonnée à l'origine, donc c'est la même droite.

Comment faire avec des équations cartésiennes ?

On compare les vecteurs directeurs : si leur déterminant est nul (vecteurs colinéaires), les droites sont parallèles.

Comment montrer que deux droites sont parallèles ?

Avec leurs équations réduites, on vérifie qu'elles ont le même coefficient directeur. Avec des vecteurs directeurs, on vérifie qu'ils sont colinéaires.

Deux droites de même coefficient directeur sont-elles toujours parallèles ?

Oui. Si en plus elles ont la même ordonnée à l'origine, elles sont confondues ; sinon elles sont strictement parallèles.

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