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Méthode · Terminale spé maths

Étudier une fonction composée

Étudier une fonction composée commence toujours par sa décomposition : on identifie la fonction intérieure f, celle qui agit sur x en premier, et la fonction extérieure g, qui agit sur le résultat. Le domaine s'en déduit en reportant les contraintes de g sur f(x) : positif ou nul sous une racine, non nul au dénominateur, strictement positif dans un logarithme. Cette étape conditionne tout le reste, car il est inutile de calculer des variations là où la fonction n'existe pas.

Les étapes

  1. 1

    Identifier f et g

    Fonction intérieure et extérieure.
  2. 2

    Domaine

    Contraintes de g sur f(x) (positif sous une racine, non nul au dénominateur…).

Exemple corrigé

Déterminer le domaine de h(x) = √(2x + 1).

  1. 1.f(x) = 2x + 1 (intérieure), g(x) = √(x) (extérieure).
  2. 2.g impose f(x) ≥ 0 : 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1/2.
Résultat : D _h = [-1/2 ;+∞[.

Deuxième exemple

Déterminer le domaine de h(x) = ln(x-4).

  1. 1.Fonction intérieure f(x) = x - 4, fonction extérieure g(x) = ln x.
  2. 2.Le logarithme impose que son argument soit strictement positif : x - 4 > 0.
  3. 3.Donc x > 4.
Résultat : D _h = ]4 ;+∞[.

Piège à éviter

Toujours appliquer les contraintes de la fonction extérieure à f(x).

Questions fréquentes

Quelles contraintes imposent les fonctions usuelles ?
La racine carrée exige un argument positif ou nul, l'inverse un argument non nul, le logarithme un argument strictement positif.
Le domaine de la composée est-il celui de la fonction intérieure ?
Pas seulement : il faut que x appartienne au domaine de f, et que f(x) appartienne à celui de g. Les deux conditions se cumulent.
Peut-on étudier les variations d'une composée ?
Oui : si f et g varient dans le même sens, la composée est croissante ; si elles varient en sens contraires, elle est décroissante.

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