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Méthode · Terminale spé maths

Étudier une fonction homographique

Étudier une fonction homographique f(x) = (ax+b)/(cx+d) revient à répondre à trois questions dans l'ordre : où est-elle définie, quelles sont ses asymptotes, comment varie-t-elle. La valeur interdite s'obtient en annulant le dénominateur et donne l'asymptote verticale ; la limite à l'infini vaut le rapport a/c des coefficients de x et donne l'asymptote horizontale. La courbe est toujours une hyperbole, monotone sur chacun des deux intervalles du domaine, mais jamais sur leur réunion.

Les étapes

  1. 1

    Valeur interdite

    On résout cx + d = 0 : asymptote verticale.
  2. 2

    Limite à l'infini

    f(x) → a/c : asymptote horizontale y = a/c.
  3. 3

    Conclure

    On donne domaine et asymptotes.

Exemple corrigé

Étudier f(x) = (2x+1)/(x-3) : domaine et asymptotes.

  1. 1.Dénominateur nul : x - 3 = 0 ⇔ x = 3. Domaine ℝ\{3}, asymptote verticale x = 3.
  2. 2.À l'infini : f(x) → 2/1 = 2, asymptote horizontale y = 2.
Résultat : Domaine ℝ\{3} ; AV x = 3, AH y = 2.

Deuxième exemple

Étudier f(x) = (4x - 1)/(2x + 6) : domaine et asymptotes.

  1. 1.2x + 6 = 0 pour x = -3 : le domaine est ℝ\{-3} et x = -3 est asymptote verticale.
  2. 2.À l'infini, le rapport des coefficients de x vaut 4/2 = 2.
  3. 3.La droite y = 2 est donc asymptote horizontale.
Résultat : Domaine ℝ\{-3} ; asymptotes x = -3 et y = 2.

Piège à éviter

L'asymptote horizontale est a/c (rapport des coefficients de x).

Questions fréquentes

Comment déterminer le sens de variation ?
En dérivant : le signe de f' est constant sur chaque intervalle, car le numérateur de la dérivée est la constante ad - bc.
Que se passe-t-il si ad − bc vaut 0 ?
La fonction est constante là où elle est définie : le quotient se simplifie et la courbe n'est plus une hyperbole.
Pourquoi la fonction n'est-elle pas monotone sur son domaine ?
À cause de la coupure en la valeur interdite : le domaine est en deux morceaux, et l'on ne peut comparer deux valeurs situées de part et d'autre.

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