Comment trouver le rapport d'une homothétie ? Méthode et exemples

Q: Peut-on utiliser n'importe quel couple de longueurs ?

Oui, à condition qu'elles se correspondent : A'B' avec AB, OA' avec OA. Toutes les longueurs étant multipliées par |k|, chaque couple donne le même quotient.

Q: Quel est le rapport de l'homothétie qui ramène l'image sur la figure de départ ?

C'est l'inverse 1k, avec le même centre : si une homothétie de rapport 4 agrandit la figure, celle de rapport 0,25 la ramène à sa taille d'origine.

Q: Comment trouver le centre d'une homothétie qu'on ne connaît pas ?

On trace les droites qui relient deux points à leurs images, par exemple (AA') et (BB') : elles se coupent au centre de l'homothétie.

Les étapes

1
Repérer deux longueurs correspondantes
Une longueur de l'image et la longueur qui lui correspond sur la figure de départ, par exemple $O A^{'}$ OA' et $O A$ OA, ou $A^{'} B^{'}$ A'B' et $A B$ AB.
2
Diviser
$∣ k ∣ = \frac{longueur image}{longueur de d e ˊ part}$ |k| = (longueur image)/(longueur de départ). Un quotient supérieur à $1$ 1 signale un agrandissement, inférieur à $1$ 1 une réduction.
3
Choisir le signe
$k > 0$ k>0 si un point et son image sont du même côté du centre, $k < 0$ k<0 s'ils sont de part et d'autre.

Exemple corrigé

Les points $O$ O, $A$ A et $A^{'}$ A' sont alignés, $A$ A et $A^{'}$ A' sont du même côté de $O$ O, avec $O A = 5$ OA = 5 cm et $O A^{'} = 2$ OA' = 2 cm. Quel est le rapport de l'homothétie de centre $O$ O qui envoie $A$ A sur $A^{'}$ A' ?

1. $∣ k ∣ = \frac{O A ^{'}}{O A} = \frac{2}{5} = 0, 4$ |k| = OA'/OA = 2/5 = 0,4.
2. $A$ A et $A^{'}$ A' sont du même côté de $O$ O : $k > 0$ k>0.

Résultat :

k = 0, 4

k = 0,4 : c'est une réduction.

Deuxième exemple

Le triangle $A^{'} B^{'} C^{'}$ A'B'C' est l'image du triangle $A B C$ ABC par une homothétie de centre $O$ O, et $O$ O est situé entre $A$ A et $A^{'}$ A'. On sait que $B C = 4$ BC = 4 cm et $B^{'} C^{'} = 10$ B'C' = 10 cm. Donner le rapport.

1. $∣ k ∣ = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{10}{4} = 2, 5$ |k| = B'C'/BC = 10/4 = 2,5.
2. $O$ O est entre $A$ A et $A^{'}$ A' : le point et son image sont de part et d'autre du centre, donc $k < 0$ k<0.

Résultat :

k = - 2, 5

k = -2,5.

Piège à éviter

On divise la longueur image par la longueur de départ, jamais l'inverse : sinon on obtient

\frac{1}{k}

1/k, le rapport de l'homothétie qui ramène l'image sur la figure de départ.

Questions fréquentes

Peut-on utiliser n'importe quel couple de longueurs ?

Oui, à condition qu'elles se correspondent :

A^{'} B^{'}

A'B' avec

A B

AB,

O A^{'}

OA' avec

O A

OA. Toutes les longueurs étant multipliées par

∣ k ∣

|k|, chaque couple donne le même quotient.

Quel est le rapport de l'homothétie qui ramène l'image sur la figure de départ ?

C'est l'inverse

\frac{1}{k}

1/k, avec le même centre : si une homothétie de rapport

4

4 agrandit la figure, celle de rapport

0, 25

0,25 la ramène à sa taille d'origine.

Comment trouver le centre d'une homothétie qu'on ne connaît pas ?

On trace les droites qui relient deux points à leurs images, par exemple

(A A^{'})

(AA') et

(B B^{'})

(BB') : elles se coupent au centre de l'homothétie.

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