Comment trouver une asymptote ? Méthode et exemples

Q: Une fonction peut-elle n'avoir aucune asymptote ?

Oui. Un polynôme comme x2 + 1 est défini partout et tend vers l'infini : ni verticale, ni horizontale.

Les étapes

1
Limites aux valeurs interdites
Si $f \to \pm \infty$ f → ±∞ : asymptote verticale.
2
Limites à l'infini
Si $f \to ℓ$ f → ℓ (fini) : asymptote horizontale $y = ℓ$ y = ℓ.

Exemple corrigé

Trouver les asymptotes de $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x) = 1/x.

1.En $0$ 0 : $\frac{1}{x} \to \pm \infty$ 1/x → ±∞, asymptote verticale $x = 0$ x = 0.
2.À l'infini : $\frac{1}{x} \to 0$ 1/x → 0, asymptote horizontale $y = 0$ y = 0.

Résultat : AV

x = 0

x = 0, AH

y = 0

y = 0.

Deuxième exemple

Trouver les asymptotes de $f (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ f(x) = 3x/(x-2).

1.Valeur interdite : $x = 2$ x = 2. En s'en approchant, le numérateur vaut $6$ 6 et le dénominateur tend vers $0$ 0 : $f$ f tend vers l'infini, d'où une asymptote verticale $x = 2$ x = 2.
2.À l'infini, numérateur et dénominateur sont de degré $1$ 1 : la limite vaut $\frac{3}{1} = 3$ 3/1 = 3.
3.La droite $y = 3$ y = 3 est donc asymptote horizontale.

Résultat : Asymptote verticale

x = 2

x = 2 et asymptote horizontale

y = 3

y = 3.

Piège à éviter

Une fonction peut avoir une asymptote verticale, une horizontale, les deux, ou aucune.

Questions fréquentes

Par où commencer la recherche ?

Par l'ensemble de définition : ses bornes indiquent exactement les limites à calculer.

Une fonction peut-elle n'avoir aucune asymptote ?

Oui. Un polynôme comme

x^{2} + 1

x² + 1 est défini partout et tend vers l'infini : ni verticale, ni horizontale.

Existe-t-il d'autres types d'asymptotes ?

Oui, les asymptotes obliques, quand la courbe se rapproche d'une droite

y = a x + b

y = ax + b avec

a

a non nul. Elles ne figurent pas au programme de terminale générale.

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